Прыклады метрычных прастораў

Прыклад. Няхай R – мноства сапраўдных лікаў. Для любых лікаў x,yR увядзём функцыю (x,y) = х у (1.1). Відавочна, што (1.1) задавальняе аксіёмам 1 і 2 метрыкі. Пакажам, што функцыя  здавальняе аксіёме 3 x,y,zR :

(x,y) = х  у= х z + z у х  z+ z  у= (x,z) + (z,y).

Пара (R, ), дзе  азначана роўнасцю (1) – метрычная прастора. Яе абазначаюць R або R¹.

Прыклад. Разгл-м таксама мн-ва R^m , але  зададзім з дап-ю фор-лы , (1.6)

дзе х = (х₁,х₂,…, х_m), y = (y₁,y₂ ,…, y_m) – адвольныя пункты (вектары) прасторы R^m. Дакажам, што функцыя (1.6) задавальняе аксіёмам метрыкі.

Функцыя  здавальняе першым дзвюм аксіёмам метрыкі. Пакажам, што  здавальняе аксіёме 3 для любых трох пунктаў х = (х₁,х₂,…, х_m), y = (y₁,y₂ ,…, y_m), z = (z₁,z₂,…, z_m) прасторы R^m.



 (x,y)  (x,z) + (z,y). 

Класіфікацыя пунктаў і мностваў у метрычных прасторах

Няхай (Х, ) – метрычная прастора.

Азначэнне 2.1. Адкрытым шарам з цэнтрам у пункце х_о і радыюсам  называецца мноства ўсіх пунктаў х, якія здавальняюць умове (x,х_о)< . Гэта мноства называецца таксама -наваколлем пункта х_о і абазначаецца U(x_o, ) або U_( x_o).

Прыклад 2.1. Адкрыты шар у розных прасторах: у прасторы R¹: (x_o ; x_o+ ) – інтэрвал; у прасторы R²: адкрыты круг; у прасторы R³: адкрыты шар.

Азначэнне 2.2. Замкнёным шарам з цэнтрам у пункце х_о і радыюсам  называецца мноства ўсіх пунктаў х, якія здавальняюць умове (x,х_о) . Мы будзем казаць шар і будзем мець на увазе азначэнне 2. Сфера – мноства пунктаў, якія здавальняюць умове (x,х_о) = .

Прыклад 2.2. Шар у розных прасторах: у прасторы R¹: [x_o ; x_o+ ] – адрэзак; у прасторы R²: замкнёны круг або проста круг; у прасторы R³: замкнёны шар або шар.

Азначэнне 2.3. Мноства ЕХ называецца абмежаваным у метрычнай прасторы (Х, ), калі існуе шар канечнага радыюса, які уключае гэта мноства.

Заўвага 2.1. Адно і тоеж мноства ў розных метрычных прасторах можа быть абмежаваным і неабмежаваным.

Азначэнне 2.4. Няхай ЕХ. Пункт х₀ называецца межавым пунктам мноства Е, калі ў любым наваколлі гэтага пункта знаходзяцца пункты, якія належаць мноству Е і не належаць яму.

Мноства межавых пунктаў – мяжа мноства Е і абазначаецца Е.

Заўвага 2.2. Межавыя пункты мноства могуць як належыць мноству, так і не належыць яму.

Азначэнне. Пункт х₀ называецца унутраным пунктам мноства Е, калі існуе наваколле пункта х₀, якое цалкам ляжыць у мностве Е. Мноства ўсіх унутраных пунктаў называецца унутранасцю мноства Е і абазначаецца .

Азначэнне. Калі кожны пункт мноства Е унутраны, то яно называецца адкрытым , а яго унутранасць супадае з самім мноствам: = Е.

Азначэнне. Пункт х_о называецца лімітавым пунктам мноства Е, калі ў любым яго наваколлі знаходзіцца бясконца многа пунктаў мноства Е.

Другімі словамі пункт х_о называецца лімітавым пунктам мноства Е, калі ў любым яго наваколлі знаходзіцца прынамсі адзіны пункт мноства Е, які не супадае з х_о.

Мноства ўсіх лімітавых пунктаў мноства Е называецца вытворным мноствам мноства Е і абазначаецца Е.

Заўвага. Лімітавыя пункты могуць як належыць мноству Е, так і не належыць яму.

Азначэнне. Калі мноства ЕХ утрымлівае ўсе сваі лімітавыя пункты, то яно называецца замкнёным.

Прыклад 2.9. Пустое мноства – замкнёнае мноства.

Азначэнне 2.9. Пункт х_о называецца ізаляваным пунктам мноства Е, калі існуе  - наваколле гэтага пункта, якое не ўтрымлівае ніякіх іншых пунктаў мноства Е, акрамя самога пункта х_о .