Аднародныя дыферэнцыяльныя раўнанні

Разгледзім дыферэнцыяльнае раўнанне выгляду

М(х,у)dx+N(x,y)dy=0.

(1)

Азн 8.1. Функцыя f(x,y) называецца аднароднай функцыяй ступені m, калі пры усякім t мае месца тоеснасць:

f(tx,ty)=tmf(x,y).

(2)

Азн 8.2. Раўнанне (1) называецца аднародным, калі M(x,y), N(x,y) аднародныя фунуцыі адной і той жа ступені m (mÎОR), гэта значыць, што М(х,у)=x^mM(1,y/x), N(x,y)=x^mM(1,y/x).

Лінейныя дыферэнцыяльныя раўнанні першага парадку

1. Паняцце аб лінейных дыферэнцыяльных раўнаннях (лдр)

Азн 9.1. Раўнанне ў нармальнай дыферэнцыяльнай форме M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называецца лінейным дыферэнцыяльным раўнаннем першага парадку, калі яно лінейна адносна шуканай функцыі.

Калі шуканай функцыяй лічыць у, тады раўнанне, лінейнае адносна у, мае выгляд

p(x)y+g(x)dx+r(x)dy=0, xY,

(1)

дзе функцыі p(x),g(x),r(x) непарыўны на І і r(x)0.

Лінейнае адносна у раўнанне, вырашанае адносна вытворнай мае выгляд

y1+p(x)y=g(x),

(2)

дзе p(x) і g(x) непарыўныя на ІR функцыі.

Відавочна, што раўнанне (1) прыводзіцца да раўнання выгляду (2).

Калі у(1) g(x)0, тады раўнанне

y1+p(x)y=0

(3)

называецца аднародным. Раўнанне (2), дзе g(x)0 называецца неаднародным.

Калі функцыi p(x) i g(x) непарыўны ў інтэрвале (а, b) ( ) раў­нанне (2), згодна з тэарэмай Пікара, мае адзінае рашэнне у=у(х), якое за­да­вальняе пачатковым умовам у=у₀ пры х=х₀, дзе х₀(a,b), a y₀ – адвольны лік. Гэ­та азначае, што праз любы пункт М₀(х₀,у₀) паласы

axb, -y+

(4)

праходзіць толькі адна інтэгральная крывая раўнання (1).

21. Лінейныя аднародныя дыферэнцыяльныя раўнанні 2‑га парадку з нязменнымі каэфіцыентамі і выкарыстанне яго пры вывучэнні вольных ваганняу

Будзем разглядаць раўнанне

L[y]=y(n)+pn-1yn-1+…+p1y’+p0y=0,

(1)

дзе xR i p_i(i=0,1,…,n-1) – сталыя лікі, якое называецца лінейным аднародным дыферэнцыяльным раўнаннем n-га парадку са сталымі каэфіцыентамі.

Каб пабудаваць агульнае рашэнне, трэба знайсці хаця бы адну фундаментальную сістэму рашэнняў. Гэта сістэма можа быць пабудавана з элементарных функцый.

Разгледзім ЛАДР першага парадку y+ay=0 ці .

Адкуль або y=Ce^-ax. Такім чынам атрымалі, што

y=Ce^-ax.

Па Эйлеру, для ЛАДР 2-га парадку будзем шукаць частковае рашэнне ў выглядзе y=e^x (2), дзе  – некаторая сталая (сапраўдная ці камплексная). Падставім (2) у (1), гэта значыць, што вылічым L[y]=y’’+py’+qy=0 ,(1) ад функцыі y=e^x. У выніку атрымаем:

² e^x +pλ e^x-+qe^x=0 , (² +pλ +q)e^x=0, т. як e^x≠0 , то ² +pλ +q=0 (3)

Гэта (3) раўнанне называецца характарыстычным раўнаннем, а яго карані – характарыстычнымі лікамі ЛАДР .

І. Няхай усе карані раўнання (5) розныя і сапраўдныя ₁ ,₂. Падставім іх у формулу (2) і знойдзем 2 сапраўдных частковых рашэнняў раўнання (1):

y1=

(6)

Раней мы даказалі, што гэтыя функцыі лінейна незалежныя і таму складаюць фундаментальную сістэму рашэнняў на (–; +).

Згодна з тэарэмай аб структуры рашэння ЛАДР формула

, дзе Сk(k=1,…,n) – адвольныя сталыя,

(7)

дае агульнае рашэнне раўнання (1) y=C₁y₁+C₂y₂, y=C₁

ІІ. Няхай усе карані характарыстычнага раўнання розныя, але ж сярод іх ёсьць камплексныя.

Няхай а+і – камплексны корань характарыстычнага раўнання. Паколькі усе каэфіцыенты характарыстычнага раўнання – сапраўдныя лікі, таму яно па­вінна мець і спалучаны корань а-і. Кораню а+і адпавядае рашэнне (гл. § 17)

y=e(a+ i )x=eax cos  x+ieax sin  x.

(8)

Гэтае рашэнне камплекснае. А згодна з тэарэмай, сапраўдная і ўяўная часткі гэтага рашэння

eaxcos  x + eax sin  x

(9)

з’яўляюцца рашэннямі раўнання. Адзначым, што функцыі (9) лінейна незалежныя ў R.

Аналагічна, спалучанаму кораню а-і адпавядюць два сапраўдных лінейна незалежных частковых рашэнні

eax cos  x i -eax sin  x.

(10)

З формул (9) і (10) відавочна, што першыя рашэнні супадаюць, а другія – лінейна залежныя паміж сабой, а значыць, спалучаны корань не спараджае новых лінейна незалежных частковых рашэнняў.

Такім чынам, калі ўсе карані характарыстычнага раўнання розныя, але сярод іх ёсць камплексныя, тады кожнаму сапраўднаму кораню _k адпавядае рашэнне выгляду e^x,а кожнай пары спалучальных каранёў а±і адпавядаюць два сапраўдных лінейна незалежных рашэнні выгляду (9). Таму атрымаем n сапраўдных рашэнняў выгляду

, eax cos  x, eax sin  x,

(11)

якія ўтвараюць фундаментальную сістэму рашэнняў, паколькі гэтыя рашэнні лінейна незалежныя на R.

Агульнае рашэнне раўнання (1) – гэта лінейная камбінацыя ўсіх частковых рашэнняў (11) з адвольнымі сталымі каэфіцыентамі С₁,…,С_n. Пры гэтым, сапраўднаму кораню _k у агульным рашэнні адпавядае выраз , а двум спалучаным камплексным караням а±і  адпавядае выраз выгляду

eax(C1cosx+C2sinx).

(12)

ІІІ. Разгледзім цяпер выпадак, калі існуюць кратныя карані характа­рыс­тыч­нага раўнання.

Няхай λ₁ – k-кратны корань характарыстычнага раўнання, гэта значыць P(λ₁)=P (λ₁)=P(λ₁)=…=P^(k-1)(λ₁)=0, P^(k)( λ₁)0.

У гэтым выпадку мае месца сцвярджэнне: калі λ₁ – корань характарыстычнага раўнання кратнасці k, тады функцыі з’яўляюцца лінейна незалежнымі рашэннямі ЛАДР(2).

Прыкладанні дыферэнцыяльнах раўнанняў у фізіцы. Вольныя ваганні