19. Абсалютная і ўмоўна збежныя лікавыя шэрагі

a1, a2,…,an,…(*) – ликавая паслядоунасць; S1=a1, S2=a1+a2; S3=a1+a2+a3; …; Sn= a1+a2+…+an (**); S1, S2, S3 – частковыя сумы, Sn – n-ая частковая сума. ((an),( Sn)).

АЗН: Пару, якая складаецца з паслядоунасцей (*) и (**) наз. ликавым шэрагам и абазн.:

((an),( Sn))= (***)

АЗН: - гэта сума членау адпаведнай лик-й пасл-ци (*). Лики a1, a2, …,an наз. складниками лик.шэрагу (*).

АЗН: Ликавы шэраг (*) наз. збежным, кали иснуе lim пасл-ци частковых сумм (**) ; (lim канечны) . Лик S з’яул. сумай шэрагу (***).

АЗН: Кали lim пасл-ци ч-х сум не иснуе або бясконцы, то шэраг (***) з’яул-ца разбежным.

Прыклады: 1) а+а+а+а+…+а+…(1), а<>0. Sn=n*a. ш-г (1) – разбежны

2) (2)

; ; шэраг (2) – збежны.

АЗН: Лікавы шэраг (1) , a_n R называецца абсалютна збежным, калі шэраг, складзены з модуляу яго складникау (2) - збежны.

Тэарэма1(аб абсалютнай збежнасци): Калі шэраг абсалютна збежны, тады ён проста збежны.

Д-з:

Няхай (2) – збежны, (1) – абсалютна збежны, тады по неабходнасци выконваеца умова Каши : .

Т.ч. .

То по дастатковай умове Кашы . Т.ч. шэраг збежны.

Тэарэма2: Сума абс-на зб-га ш-гу роуна рознасци сум ш-ау, якия састаулены з дадатных ш-ау складнику (1) и модулеу адмоуных скл-у ш-гу (1): S=B-C.

Заувага: да т.1 тэарэма, адваротная да т.1 наогул кажучы не иснуе.

АЗН: Калі ш. (1) з’яўляецца збежным, а ш. (2) разбежным, то ш. (1) называецца ўмоўна збежным.

Тэарэма (прыкмета Лейбніца): Калі паслядоўнасць з модуляу складникау ш-гу , a_n≥0, т.е. : 1) ненарастальная; 2) бясконца малая, г.зн.

1) ;

2) , то лікавы ш. будзе збежным и наз-ца ш-м Лейбница.

Заувага: Магчымы наступныя выпадки пры даследаванни знака ш. на зб-ць:

1. ш.(2) – зб-ны ш. (1) – абсалютна зб-ны.

2. ш.(2) – разб-ны ш. (1) –зб-ца умоуна, кали ш. (1) па т. Лейбница зб-ны.

3. ш.(2) – разб-ны, кали ш. (1) разб-ны.

Прыклады: 1) (А); (В)-зб-ны (А)-зб-ца абс-на.

2) (А); (В), разб-ны ш.

1) спадальная; 2) Значыць (А) – збежны умоуна.

Тэарэма (Дзирыхле): Кали ш.(1) абс-на зб-ны, то и шэраг, яки атрыманы перастаноукай скл-у ш-гу (1) таксама абс-на зб-ца да сумы ш-гу (1).

Выснова: Абс-на зб-я ш-ги падпарадкоуваюцца камутат-му закону.

Тэарэма(Рымана): Кали ш. (1) - умоуна зб-ны ш., то можна знайсци таки лик А, што пры адпав-й перастаноуке скл-у ш-гу (1) атр-ца ш., яки будзе умоуна зб-ца да А або увогуле разбягацца.

Выснова: Умоуна зб-я ш-ги увогуле не падпарадкоуваюцца камутат-му закону.

20. Звычайныя дыферэнцыяльныя раўнанні першага парадку. Раунанні з раздзяляльнымі зменнымі. Лінейныя раунанні

У інтэгральным злічэнні вырашалася задача аб знаходжанні функцыі па яе вытворнай. Гэту задачу можна сфармулявать наступным чынам: знайсці функцыю у(х), якая задавальняе на некаторым прамежку І раўнанню у'=f(x), дзе f – зададзеная функцыя.Можна паставіць больш агульную задачу: няхай F – функцыя (n+2) зменных, і патрабуецца знайсці функцыю у(х), якая задавальняе на некаторым прамежку І раўнанню F( x, y(x), y'(x),…, y⁽ⁿ⁾(x))=0.

Азн: Звыч-м дыф-м раўн-м наз-ца судач-не, якое звязвае на нейким прамежку незалежную зиенную, шукаемую функцыю и яе вытворную и мае выгляд:

F(x,y(x),y'(x),…,y(n)(x))=0,

(1)

дзе F – вядомая функцыя, х – незалежная зменная, у(х) – невядомая функцыя.

Заўвага. Раўнанне для вызначэння функцыі адносяць да дыферэн­цы­яль­ных, калі ў ім удзельнічаюць дыферэнцыялы ці вытворныя шуканай функцыі. Ка­лі шуканая функцыя залежыць ад аднаго аргумента, тады дыферэнцыяльнае раў­нанне называюць звычайным дыферэнцыяльным раўненнем і абазначаюць ЗДА.

Азн: Парадкам дыферэнцыяльнага раўнання называецца най­вы­шэйшы парадак вытворнай невядомай функцыі у= у(х), якая ўваходзіць у раўнанне.

Азн: Функцыя у(х) называецца рашэннем дыферэнцыяльнага раўнання, калі яна n разоў непарыўна дыферэнцавальная на некаторым прамежку І і, калі хÎОІ, функцыя у(х) задавальняе раўнанню (1).

Працэс знаходжання рашэння дыферэнцыяльнага раўнання называецца інтэграваннем дыферэнцыяльнага раўнання.

Азн: Графік рашэння дыферэнцыяльнага раўнання называецца інтэгральнай крывой гэтага раўнання.

Агульны выгляд раўнання першага парадку

F(x,y,y')=0 .

(1)

Частковым выпадкам раўнання (1) з'яўляецца раўнанне

,

(2)

дзе сапраўдная функцыя f(x,y) зададзена ў некаторым абсягу D(х,у). Тады га­во­раць, што дыферэнцыяльнае раўнанне (2) зададзена ў абсягу D(х,у). Ды­фе­рэн­цыяльнае раўнанне (2) – гэта раўнанне вырашальнае адносна вытворнай.

Калі ў наваколлі пунктаў (х,у) функцыя f(х,у) ператвараецца ў бяс­­концасць, то нараўне з раўнаннем (2) разглядаюць раўнанне выгляду

.

(2’)

Акрамя таго раўнанне (2’) мэтазгодна разглядаць, калі вырашыць яго лягчэй чым (2).