17. Шэраг Тэйлара. Прыкметы раскладу рэчаісных функцый у ступеневы шэраг
З дапамогай дыферэнцыяльнага злічэння можна даследаваць функцыю віду:
L(x) = c0 + c1(xa) + c2(xa)2 + … + cn(xa)n, |
(1) |
правая
частка якой з’яўляецца мнагаскладам
ступені n,
а лікі сk,
(гэта значыць, што k
прабягае значэнні ад 0 да n)
называюцца каэфіцыентамі гэтага
мнагаскладу. У матэматыцы часта
развязваецца задача:
Знайсці набліжэнне функцыі f, вызначанай у наваколлі пункта а мнагаскладам віду (1), і высветліць хібнасць гэтага набліжэння, гэта значыць патрабуецца знайсці каэфіцыенты ck мнагаскладу (1) так, каб у наваколлі пункта а функцыя f(x) Ln(x), і знайсці хібнасць вылічэння, г. зн. модуль рознасці |f(x) Ln(x)| у кожным пункце х гэтага наваколля.
Няхай функцыя f n разоў дыферэнцавальная на адрэзку I з канцамі а і х (г. зн. I = [a; x] або I = [x; a]).
Высветлім, якія каэфіцыенты павінны быць у мнагаскладу (1), каб функцыя f і мнагасклад, а таксама вытворныя функцыі f і мнагаскладу мелі адпаведна аднолькавыя значэнні ў пункце а:
Няхай
f(a)
= L(a);
f(k)(a)
= L(k)(a),
k
=
.
Знойдзем
значэнні функцыі L(x)
і яе вытворных у пункце x
= a.
L(a) = c0 c0 = f(a).
Прадыферэнцуем роўнасць (1) n разоў, атрымаем ф-лы (1*):
L'(x) = c1 + 2c2·(xa) + 3c3·(xa)2 + … + ncn·(xa)n-1,
L''(x) = 1·2·c2 + 2·3·c3·(xa)1 + … + n·cn·(xa)n-2,
L(n)(x) = 1·2·3·c3 + 2·3·4·c4·(xa) + … + cn·n·(n1)·(n2)·(xa)n-3,
…
L(n)(x) = 1·2·3…n·cn = n!·cn.
Заменім
х
на
а,
атрымаем
L'(а)
= 2!·c2,
L'(a)
= 3!·c3,
…, L(n)(a)
= n!·cn
. Тады
з
ф-л
(1*),
што
патрэбныя
каэф-ты
м-ду
(1) зн-ца
па
ф-ле:
с0
=
f
(a),
c1
=
f
'(a)/1!=
f '(a),
c2
=
,
…, cn
=
.
Падставім значэнні каэфіцыентаў у формулу (1), атрымаем мнагасклад:
Pn(x;a)
= f(a)
+
(xa)
+
(xa)2
+
… +
(xa)n, (2)
значэнні якога і значэнні яго вытворных адпаведна супадаюць са значэннямі функцыі f і яе вытворных у пункце а.
Разгледзім рознасць
f(x) Pn(x; a) = Rn (x; a) f(x) = Pn(x; a) + Rn(x; a). |
(3) |
Падставім у (3) з (2) значэнні Pn(x;a), атрымаем
f(x) = f(a) + (xa) + … + (xa)n + Rn(x;a). (4)
Формула (4) называется формулай Тэйлара функцыі f у наваколлі пункта а, Rn(x;a) n-ай астачай формулы Тэйлара, або n-м астаткавым членам формулы Тэйлара.
Сама формула (4) мае кошт, калі з'яўляецца магчымасць ацаніць або знайсці яўна выраз для астачы Rn(x;a) (у гэтым выпадку мы будзем ведаць адхіленне мнагаскладу (2) ад функцыі f на адрэзку І ).
Тэарэма 1. Няхай функцыя f (n + 1) раз дыферэнцавальная на адрэзку І, то для кожнай функцыі , дыферэнцавальнай на адрэзку І і здавальняючай умове x 0 x, знойдзецца пункт с І такі, што
|
(5) |
.Увядзём у разгляд функцыю
g(t)
= f(x)
Pn(x,t)
= f(x)
(f(t)
+
),
дзе t
I,
якая мае ўласцівасці (6):
1) g(x) = 0;
2) g(a) = f(x) Pn(x;a) = Rn(x;a);
3)
дзе
Функцыі g i здавальняюць умовам тэарэмы Кашы на адрэзку І, а гэта значыць існуе пункт с І такі, што
|
(7) |
Падставім у роўнасць (7) замест g(x), g(a) i g'(c) іх выразы з уласцівасцей (6) і атрымаем наступны выраз :
