14. Азначэнне плошчы плоскай фігуры. Яе вылічэнне з дапамогай вызначанага інтэграла

Пад плоскай фігурай можна разглядаць адвольнае абмежаванае мноства пунктаў плоскасці. Мы будзем разглядаць фігуры абмежаваныя плоскімі, непарыўнымі, замкнённымі лініямі.

Замкнутая непарыўная плоская лінія γ ёсць мноства γ={(x,g):x=φ(t), g=ψ(t), t [a;b], φ(t) I ψ(t) непарыўныя функцыі і розным значэнням t адпавядаюць розныя пункты плоскасці, акрамя t=a, t=b }.

p- многавугольнік умежаваны ў фігуру; Р- акрэсліны многавугольнік (уключае ў сябе фігуру).

{S(p)}-мноства плошчаў умежаваных многавугольнікаў будзе абмежавана зверху і значыць існуе sup гэтага мноства. sup{S(p)}=S_*(δ) – ніжняя плошча δ.

{S(Р)}-мноства плошчаў акрэсліных многавугольнікаў будзе абмежавана знізу і значыць існуе inf гэтага мноства. inf{S(P)}=S^*(δ)- верхняя плошча фігуры δ.

Верхняя і ніжні плошчы заўсёды існуюць.

Калі верхняя і ніжняя плошчы =, то гэтая фігура называецца квадравальнай і агульнае значэнне верхняй і ніжняй плошчы назваецца плошчай фігуры δ. S(δ)=S^*(δ)=S_*(δ).

Тэарэма (Крытэр квадравальнасці): Каб фігура δ была квадравальнай, неабходна і дастаткова, каб для любога ε>0 існавалі такія умежаваны мнагавугольнік р і акрэсліны многавугольнік Р, што S(P)-S(p)< ε.

Уласцівасці: 1). Каб фігура δ была квадравальнай неабходна і дастаткова, каб плошча яе мяжы была=0. 2). Каб фігура δ была квадравальнай, неабходна і дастаткова, каб для любога ε>0 існавалі умежаваная квадравальная фігура q δ і акрэсліная квадравалная фігура Q δ, такія што S(Q)-S(q)< ε.

Пад крывалінейнай трапецыяй мы разумеем фігуру δ ={ (x,y) : a≤x≤b, 0≤y≤f (x) } дзе f(x) непарыўная фунуцыя.

Тэарэма: Крывалинейная трапецыя з’яўляецца квадравальнай і яе плошча знаходзіцца па формуле S(δ)= .

Д-з: З непарыўнасці функцыі y=f(x) вынікае яе інтэгравальнасць (з 1 тэарэмы Вейерштраса), гэта значыць існуе . Па тэарэме Кантара з непарыўнасці f на адрэзку вынікае непарыўнасць функцыи f на кожным частковым адрэзку (па 1 т-ме вейерштрасса – абмежавана), а па 2 т-ме Вейерштрасса ф-я f на кожным частковым адрэзку прымае свае найбольшае и найменшае зн-не: , . На падставе крытэрыя інтэгравальнасці для любога ε>0 існуе такі падзел Т, што выконваецца няроўнсць S(T)–s(T)< ε. , . | – |< ε S(P) –S(p)< ε што фігура δ – квадравальная і для яе плошчы праўдзіцца S(δ)=

16. Тэарэма аб вызначаным інтэграле са зменнай верхняй мяжой. Формула Ньютана-Лейбніца

Няхай – непарыуная на [a;b] інтэгравальная на ім і на [a;х] [a;b] (a < x ≤ b), абазначым праз або (1) і назавём гэту ф-ю інтэгралам са зменнай верхняй мяжой або функцыя верхняй мяжы.

Тэарэма1: Калі f(x) інтэгравальная функцыя на [a;b], то інтэграл са зменнай верхняй мяжой

ёсць непарыўная функцыя на [a;b].

Д-з: F(x₂)-F(x₁)= (1)

|F(x₂)-F(x₁)|= (2)

на падставе невызначнага інтэграла, маем (|x₁ – x₂|<δ |f(x₁) – f(x₂)|<ξ, )

Заўвага:Няроўнасць 2 можна запісаць інакш: |F(x+∆x)-F(x)|≤M|∆x| (2’) |∆F(x)|≤M|∆x| (2’’)

Тэарэма2: Калі f(x) непарыўная функцыя на [a;b], то будзе дыферанцавальнай функцыяй на [a;b] і праўдзіцца раўнанне F’(x)= =f(x) гэта значыць F(x) першаісная для f(x). (вызначаны інтэграл са зменнай верхня мяжой ёсць першаісная для падінтэгральнай функцыі).

Д-з: F’(x)=

F(x+∆x) – F(x) = = .

F(x+∆x) – F(x) = = (па т. аб сярэдним: кали f непар-я на [a;b], то на [a;b] зн-ца прынамси адзины п. с [a;b], што ) = f(c)(x+∆х-x) = f(c) ∆х.

= (па азн. непар-ци) = f(x) F'(x)=f(x). (ш.п.д.)

Вынік: Кожная непар-я на [a;b] ф-я мае на [a;b] першаисную и адной з першаисных з’яуляецца ф-я .

Заувага: Можна разгледзець и ф-ю зменнай нижняй мяжы,

Геаметрычны сэнс F(x): плошча крывалин-й трап-и мае аснову [a,x] [a,b].

Тэарэма (Ньютана-Лейбніца): Калі функцыя f(x) непарыўная на [a;b], то мае месца формула: =F(b) – F(a) (1), дзе F(x) любая першаісная для f(x).

Д-з: У папярэдняй тэарэме ёсць першаісная для f(x). Калі F(x) нейкая іншая першаісная, то яе можна прадставиць у выглядзе: F(x)=F(x)+C (2), т.як. (3), т.ч. . (4)

Няхай x=a. З (4) F(a)+С=0, С = - F(а). (5)

З (2): F(x)=F(x)-F(a). Няхай x=b. = .

Прыклады: 1) ;

2) .