14. Паняцце вызн інтэграла, тэарэма аб інтэграв-ці непар. Функцыі

Няхай на адрэзку [a;b] вызначана функцыя y=f(x). Зробім T-падзел адрэзка [a;b] пунктамі a = x₀ < x₁ <...< x_n= b. На кожным адрэзку [x_k-1;x_k] выбіраем і састаўляем суму

, ξ={ξ₁, ξ₂, …ξ_n} –якая наз. інтэгральнай сумай.

Лик I наз лимитам интэгральнай сумы функцыи f на адрэзку [a,b], кали .

Калі иснуе агульны lim інтэгральных сумаў , які не залежыць ад падзелаў і выбара пунктаў ξ _к , то яго называюць вызначаным інтэгралам ад ф–цыі f(x) на адрку [a;b] і абазначаюць I= .

Функцыя наз. интэгравальнай, кали , т.е.

Тэарэма: Калі ф-цыя f(x) непарыўна на [a;b] , то яна інтэгравальна на гэтым адрэзку.

Д-з: 1) f-непарыуна => абмежавана (1 т-ма Вейерштрасса)

па тэарэме Кантара з непарыўнасці f на адрэзку вынікае непарыўнасць функцыи f на кожным частковым адрэзку (па 1 т-ме вейерштрасса – абмежавана), а па 2 т-ме Вейерштрасса ф-я f на кожным частковым адрэзку прымае свае найбольшае и найменшае зн-не: ,

гэта значыць, што з няроўнасці |x’–x’’|< δ |f(x’)–f(x’’)|<ξ (1). Т. як f(x) непарыўная ф-цыя , то па тэрэме Вейерштраса існуе x _k’ , такое што M_k =f(x_k’’) далей лічым, што дыяметр падзелу λ(Т) <δ у такім разе будзем пісаць S(T) –s(T) =

т.як =ξ |b–a| S(T)–s (T) < ξ (b–a)

На падставе крытэра інтэгравальнасці, непарыўная ф-цыя з’яўляецца інтэгавальнай. ( Каб абмежаваная на адрэзку [a;b] ф-цыя f(x) была інтэгравальнай, неабходна і дастаткова, каб для любога ξ > 0 існаваў δ= δ(ξ) такі, што з няроўнасці λ(Т) <δ няроўнасць 0< S(T)–s (T) < ξ )

Уласцівасці: 1) Калі f(x) i g(x) інтэгавальныя ф-цыі на [a;b], то ф-цыя αf(x)+βf(x) таксама інтэгравалная на гэтым адрэзку і выконваецца раўнанне .

2) Калі f(x) i g(x) інтэгавальныя ф-цыі на [a;b], то іх здабытак будзе інтэгравальнай ф-цыяй на гэтым адрэзку.

3) Праўдзяцца раўнанні =0 і = – .

4) Калі f(x) інтэгавальная ф-цыя на [a;b], то яна будзе інтэгравальнай на кожным меншым адрэзку [a₁;b₁] [a;b].

5) Калі f(x) інтэгавальная ф-цыя на [a;с] і [с;b], то яна будзе інтэгравальнай і на ўсім [a;b] і праўдзіцца раўнанне = + .

6) Калі f(x) ≥0 інтэгавальная ф-цыя на [a;b], то згодна з умовай f(x) ≥0 , для кожнага падзелу Т адрэзка [a;b] і для усяка выбаркі ξ праўдзіцца няроўнасць ≥0.

7) Калі f(x) i g(x) інтэгавальныя ф-цыі на [a;b] і f(x) ≥ g(x), то для любога х [a;b] выконваецца няроўнасць ≥ .

Д-з: На падставе ул-ці 1 , f(x) –g(x) – інтэгравальная ф-цыя, тады на падставе 6 ул-ці ≥0 – ≥0 ≥ .

8) Калі f(x) інтэгавальная ф-цыя на [a;b], то і |f(x)| будзе інтэгравальнай і праўдзіцца няроўнасць | | ≤ .

9) Калі f(x) інтэгавальная ф-цыя на [a;b] і |f(x)| ≤ М , то | | ≤ M(b–a).

Д-з: на падставе 8 ул-сці будзем мець | | ≤ ≤ (7) ≤ = M(b–a).

10) Калі f(x) інтэгавальная ф-цыя на [a;b] і m ≤ f(x) ≤ М , то праўдзіцца няроўнасць m (b–a) ≤ ≤ M(b–a).

11) Тэарэма (аб сярэднім значэнні) : Калі f(x) непарыўная ф-цыя на [a;b], то існуе п-т ξ такі, што = f(ξ) (b–a).

ПРЫКЛАД: