11. Азначэнне даўжыні дугі і яе вылічэнне з дапамогай вызначанага інтэграла

Разгледзім некаторую лінію на плоскасці:

y=f(x), x≤ [a,b]. Зробім падзел T={a=x₀<x₁<...<x_n=b}

A_k( x_k, f(x_k) )

Разгледзім ломанную з вяршыняй у гэтых пунктах {A_k}

Даўжыня ломаннай l(T)=

Даўжынёй крывой y=f(x) будзем называць

,дзе λ(T) – дыяметр падзелу. Калі lim існуе, то сама крывая y=f(x) называецца выпрастальнай.

Тэарэма: Калі y=f(x), x [a,b], з’яўляецца непарыўнай функцыяй і мае непарыўную вытворную f ’(x) , то даўжыня дугі графіка гэтай функцыі вылічваецца па формуле .

Зараз будзем лічыць, што крывая лінія падаецца раўнаннем x=φ(t), y=ψ(t), дзе

t [a,b], φ(t) i ψ(t) – непарыўныя дыф. функцыі. Зробім падзел адрэзка [a,b], a=t₀<t₁<…<t_n=b. =

= . .

= =

Азн.: Будзем гаварыць, што раунанні задаюцца параметрычна L, калі існуе такая сістэма адрэзкау з разбіеннем што для значэння t з кожнага адрэзка сістэмы раунанні (1) вызначаюць простую крывую.

Формула даўжыні дугі, якая задаецца параметрычнымі раўнаннямі.

12. Тэарэма Лагранжа. Прыкметы сталасці і маннатоннасці функцыі

Прыкмета манатоннасці ф: для таго, каб дыферэнцавальная на (a; b) функцыя f (x) неспадала (ненарастала) на гэтым інтэрвале неабходна і дастаткова, каб f'(x) была неадмоўна (недадатна) усюды на гэтым інтэрвале.

Доказ: неабх. Няхай f(x) неспадальная на інтэрвале (a; b), тады x₀ (a; b), x>0 (х₀+ x) (a; b), выконваецца y=f(х₀+ x)-f(х₀) 0; 0 перойдзем да ліміту, калі x імкнецца да 0. f'(x) 0, x₀ (a; b).

даст. Няхай f '(x) 0, для любога ўнутранага пункта х₁, х₂ з (a;b) , тады на [a; b] f(x) задавальняе ўмовам тэарэмы Лагранжа:

1) f(x) непарыўна на [х₁;х₂], т.я. дыферэнцавальная на (a; b)

2) f(x) дыферэнцавальная на (х₁;х2), тады ;

. Т.я. , то і па ўмове тэарэмы f(x) 0, x (a; b), таму функцыя неспадальная.

Т. Лагранжа: Няхай функцыя f(x) непарыўная на адрэзку [a; b], дыферэнцавальная ўнутры яго, тады пункт такi, што праўдзiцца роўнасць f(b)-f(a)=f '( )(b-a) (1)

Доказ: разгледзем на [a; b] дапаможную функцыю F(x)=f(x)- x i вызначым лiк такiм чынам, каб F(a)=F(b), г.зн. f(a)- a=f(b)- b = ,для функцыi F(x) выконваюцца ўсе умовы Т. Роля (няхай функцыя f(x) непарыўна на [a;b] дыферэнцавальная ўнутры яго, на канцах гэтага адрэзка мае аднолькавыя значэннi f(a)=f(b), тады прынамсi адзiн пункт ,такi што f’( )=0). F(x) непарыўна на [a; b], т.я. f(x) непарыўна на [a; b] згодна ўмове тэарэмы i x непарыўна на усiм R, а рознасць непарыўных функцый – непарыўная функцыя. F(x) дыферэнцавальная на [a; b], т.я. f(x) дыферэнцавальная на [a; b] згодна ўмове тэарэмы x дыферэнцавальная на R, а рознасць дыферэнцавальных функцый – функцыя дыферэнцавальная F(a)=F(b), (па выбару ), таму прынамсі адзін пункт [a; b], такі што F'( )=0 f’( )– =0;

f’( )= f(b)-f(a)=f'( )(b-a).(1)

Геаметрычны сэнс

А (а, f(а)) В(b, f(b)). АВ – сечаная, КВ= f(b)-f(a); АК=b-a; tg = tg . На дуге графіка функцыі, непарыўнай на [a; b] і дыферэнцавальнай унутры яго, заўсёды пункт, у якім датычная параллельна сечанай, якая злучае пункты з кардынатамі А(а, f(а)) і В(b, f(b)). Прамежкавае значэнне : =a+ (b-a), 0< <1 a< <b і выгляд вормулы прыросту f(b)-f(a)=f'(a+ (b-a))(b-a). Няхай a=x, b-a= x і тады формула прыме выгляд: f(x+ x)-f(x)=f' (x+ x) x.

Крытэрый сталасці функцыі на прамежку.

Няхай функцыя f(x) азначана і непарыўна на прамежку |a; b| і ўнутры яго мае канечную вытворную f'(x). Для таго, каб f(x) была на зададзенным прамежку сталай неабходна і дастаткова, каб f'(x)=0 унутры гэтага прамежка.

Доказ : неабх. f(x)=const f'(x)=0.

даст. f'(x)=0, x . Няхай . Дакажам, што

Па формуле Лагранжа: і але па ўмове на ўсім |a;b| у прыватнасці f’( )=0, т.ч. т.я. значэнніфункцыі ў любых двух пунктах х1 і х2 з |a; b| роўныя, а г.зн. што на гэтым прамежку захоўвае сталае значэнне f(x)=const.

Умовы манатоннасці функцыі на прамежку.

2. Для таго, каб дыферэнцавальная функцыя f (x) нарастала (спадала) на прамежку (a; b) дастаткова, каб вытворная функцыі f '(x)>0 (f '(x)<0) усюды на гэтым прамежку.

Гэта ўмова не з’яўляецца неабходнай. Контрпрыклад: y=x³ y’=2x² y’(0) =0 Функцыя строга нарастае, але не ва ўсіх пунктах вытворная >0.

3. Дыферэнцавальная на прамежку (a; b) функцыя f(x) нарастае (спадае) на гэтым прамежку, калі f '(x)>0 (f '(x)<0) усюды на гэтым прамежку за выключэннем канечнага ліку пунктаў, у якіх f '(x)=0.