10 . Экстрэмум функцыі. Умовы экстрэмума. Знаходжанне найбольшага и найменьшага значэнняу функцыі, дыферэнцыяльнай на адрэзку

Азн. Няхай функцыя f азначана на інтэрвале (a, b). Пункт называецца пунктам лакальнага максімума (мінімума) функцыі f, калі існуе такое >0, існуе наваколле такое, што , якія задавальняюць умове | |< , выконваецца няройнасць .

Азн. Няхай функцыя f азначана на інтэрвале (a, b). Пункт называецца пунктам строгага лакальнага максімума (мінімума) функцыі f, калі існуе наваколле такое, што выконваецца няройнасць .

Пункты лакальнага max (min) функцыі f называюцца пунктамі лакальнага экстрэмуму, а значэнні функцыі у гэтых пунктах – адпаведна лакальнымі max (min).

х1(х2) – пункт строгага лакальнага max (min), а пункты інтэрвала (c,b) – пункты лакальнага max; f(x1), f(x2), f(x3) - лакальные экстремумы.

Тэарэма 1 (Неабх. умова экстрэмума): няхай x0 пункт экстрэмума функцыі f, вызначанай у некаторым наваколлі U(x0). Тады або вытворная не існуе, або =0.

Доказ: Сапраўды, калі x0 пункт экстрэмума для функцыі f , то знойдзецца такое наваколле , што значэнне f ў пункце x0 будзе найбольшым або найменшым у гэтым наваколлі. Таму згодна Т.Ферма, калі ў x0 існуе вытворная, то яна =0.

Заувага: Роунасць =0 з’яуляецца неабходнай умовай існавання экстрэмуму, але не дастатковай. (прыклад: , але х=0 не з’яуляецца пунктам экстрэмуму, паколькі і таму не мае экстрэмумау).

Заувага: Калі f недыферэнцавальная у пункце х0, то х0 можа быць, а можа і не быць пунктам экстрэмуму. (прыклад: пункт х=0 – пункт min, але у гэтым пункце вытворная не існуе).

Азн.: Пункты, у якіх вытворная функцыі роцна 0, называюцца стацыянарнымі пунктамі.

Азн.: Пункты, у якіх вытворная функцыі роцна 0 або ∞, або наогул не існуе, будзем называць крытычнымі пунктамі 1 роду.

Тэарэма 2 (Даст. умова экстрэмума): Няхай f(x) дыферэнц. усюды ў некаторым наваколі U(x0) і няхай пункт x0 стацыянарны для f(x), тады калі ў дадзенным наваколлі вытворная f '(x) дадатна (адмоўна) злева ад пункта x0 і адмоўна (дадатна) зправа ад яго, то f(x) мае ў пункце x0 лакальны максімум (мінімум).

Доказ: няхай f '(x)>0, калі x >x0, дзе x некаторы пункт з наваколля U(x0), т.я. f (x)дыферэнцавальна ўсюды на дадзеным наваколлі, то на адрэзку з межамі ў пунктах x і x0 выконваюцца ўмовы Т.Лагранжа. Тады f =f(x)– f(x0)–f '( )(x–x0)(*) (x;x0). Калі x<x0, тады (x-x0)<0, і f'( )>0, т.я. x< <x0 і f<0, калі x>x0, тады (x-x0)>0, а f'( )<0, т.я. x0< <x і f <0, т.ч. f <0 заўсёды, г.зн, што пункт x0 пункт лакальнага

максімума. Аналагічна для мінімума.

Тэарэма 2 (Даст. умова экстр. у тэрм. 2 вытв.): Няхай функцыя f(x) мае ў дадзеным стацыянарным пункце с канечную другую вытворную. Тады гэта функцыя мае ў пункце с лакальны максімум, калі , і лакальны мінімум, калі .

Знаходж. макс. і мін. знач. на [a;b]:

Няхай f(x) вызначана і непарыўна на некаторым [a;b]. Згодна 2 Т.Ваерштраса непарыўная ф-ыя абавязкова дасягае ў некаторым пункце з [a;b] свайго найменшага і найбольшага значэнняў. Разгледзем найбольшае значэнне. Яно можа дасягацца або ва ўнутраным пункце x0 з [a;b], або на адным з канцоў адрэзка [a;b].

Адсюль відавочна, што для знаходжання найбольш. значэння функцыі f(x) на адрэзку [a;b] трэба параўнаць паміж сабой значэнні f(x) ва ўсіх пунктах лакальнага максімума і ў гранічных пунктах адрэзка a і b. Найбольшае з гэтых значэнняў і з’яўляецца найбольшым значэнем f(x) на [a;b]. Аналагічна знаходзіцца і найменшае значэнне f(x) на [a;b].

Азн.: Няхай функцыя f вызначана на прамужку Х і прымае найбольшае і наймеьшае значэнні на гэтым прамежку адпаведна у пунктах х1 і х2, тады х1 – пункт абсалютнага max функцыі f на прамежку Х, а х2 – пункт абсалютнага min ..., значэнні функцыі f у гэтых пунктах называюцца адпаведна абсалютнымі max (min) функцыі f на прамежку Х або найбольшым і найменьшым значэннямі функцыі f на прамежку Х.

Тэарэма: калі функцыя f непарыуна на прамежку Х і мае адзіны пункт экстрэмуму , тады, калі - пункт max (min), то у ім функцыя прымае найбольшае (найменьшае) значэнне f( ) на прамежку Х.