Тэарэма аб прамежкавых зн-нях непар.Ф-цыi

Няхай ф-цыя y=f(x) вызначана на адрэзку [a;b]

Т1. Бальцана-Кашы. Няхай ф-цыя непар.на адрэзку [a;b] i няхай знач.гэтай ф-цыi у канцавых пунктах адрэзку маюць розныя знакi, тады памiж пунктамi a i b неабходна знойдзецца пункт с, с (a;b) у якiм ф-цыя будзе роуна 0.

Д оказ:Няхай для пэунасцi f(a)<0 i f(b)>0. Падзелiм адр.[a;b] на два роуныя адр., тады або f((a+b)/2)=0 i Т.даказана, т,я.с= (a+b)/2; або f((a+b)/2)≠0, тады у канцавых пунктах аднаго з адрэзкау [a; a+b)/2] i [a+b)/2;b] ф-цыя f(x) будзе мець знач.розных знакау i пры тым на левым канцы адм.знач.,на правым-дадатнае. Абазн.гэты адр. [a₁;b₁]: f(a₁)<0 i f(b₁)>0. Падзелiм адр. [a₁;b₁] на роуныя часткi i зноу атрымаем цi f((a₁+b₁)/2)=0 i Т.даказана, т,я.с= (a₁+b₁)/2; або f((a₁+b₁)/2)≠0, тады у канцавых пунктах аднаго з адрэзкау ф-цыя f(x) будзе мець знач.розных знакау i пры тым на левым канцы адм.знач.,на правым-дадатнае. Абазн.гэты адр. [a₂;b₂]: f(a₂)<0 i f(b₂)>0. Працягнем гэты працэс, пры гэтым або пасля канечн.лiку крокау знойдзем пункт, у якiм ф-цыя f(x) будзе =0, або атрымаем бясконц.пасляд. сцяжных адрэзкау ([a_n;b_n]), f(a_n)<0, f(b_n)>0 i b_n- a_n=(b-a)/2ⁿ→0 пры n→ г.зн. што у паслядоунасцi будзе iснаваць адзiны пункт с, якi належыць адр. [a_n;b_n], n=1,2,3…пры чым Lim_n→ a_n = Lim_n→ b_n =c. Адсюль згодна азнач.непар.па Гейне мае Lim_n→ f(a_n)= Lim_n→ f(b_n) =f(c).Пяройдзем да лiмiту у няр-сцi: f(a_n)<0, f(b_n)>0 Lim_n→ f(a_n)= f(c)≤0 Lim_n→ f(b_n) =f(c)≥0  f(c)=0

Т2. Бальцана-Кашы. Няхай ф-цыя непар.на адрэзку [a;b] i пры гэтым f(a)=A i f(b)=B. Няхай с-любы лiк, якi знах-ца памiж лiкамi A i B, тады на адр.[a;b] заусёды знойдзецца пункт x=c, дзе a<c<b, такi што f(с)= С.

Доказ: Будзем лiчыць, што A<B i A<C<B. Разгл. на адр. [a;b] дапам.ф-цыю φ(x)= f(x)-c. Гэта ф-цыя непар. на [a;b] i φ(a)= f(a)-c=A-C<0

φ(b)= f(b)-c=B-C>0. Тады з Т1.Б.-К. вынiкае, што памiж a i b знойдз.пункт с, такi што φ(с)=0 f(с)-c=0 f(c)=C.

7. Трыганаметрычныя функцыі ў рэчаісным абсягу. Расклад сінуса і косінуса ў ступеневы шэраг

f(x)=sinx, f’(x)=sin(x+π/2),..., f^(k)(x)=sin(x+kπ/2), тады f(0)=0, f’(0)=1, f´´(0)=0, f´´´(0)=-1,..., f^(2m)(0)=0, f^(2m+1)(0)=(-1)^m. Па формуле маклорэна маем: sinx=x/1!—x³/3!+x⁵/5!-…+

+(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+[x²ⁿ⁺³/(2n+3)!]sin[Θx+(2n+3)π/2]

x²ⁿ⁺³/(2n+3)!0, калі n. Так як абсалютнае значэнне sin не праўзыходзіць 1,то [x²ⁿ⁺³/(2n+3)!]sin[Θx+(2n+3)π/2]0, гэта значыць

sinx=x—x³/3!+x⁵/5!-…+(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!... мае месца для усіх x.

Аналагічна соsx=1-x²/2!+x⁴/4!-…+(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)!мае месца для усіх x.

Азначэнне y=cosx, y=sinx, y=tgx, y=ctgx.

Уласцівасці: непарыўнасць. 1) lim_xx0cosx=cosx₀, для x₀R=>y=cosx- непарыўна ваўсім абсягу вызначэння.

2) y=sinx. y=sin(x₀-x)-sinx₀=2sinx/2*cos(2x₀+x)/22*1*x=x,

x-x₀<, f(x)-f(x₀)<ε, yx, для (ε>0), (>0)=>y=sinx- непарыўна ў пункце x₀R, так як x₀ адвольны лік то функцыя будзе непарыўна ва ўсім сваім абсягу.

Дыферанцавальнасць: y=sinx

вытворная ад косінуса знаходзіцца аналагічна, ці так: