6. Розныя азначэннi лiмiту I непарыунасцi функцыi у пункце. Тэарэма аб прамежкавых значэннях непарыўнай функцыі

Азн. Калi кожнаму значэнню зменнай x мн-ва X ставiцца у адпаведнасць па вядомаму закону некаторы лiк y, уY то кажуць, што на мн-ве X зададзена функцыя y=y(x) цi y=f(x). X-абсяг вызначэння (D_f) Y-абсяг значэнняу (E_f)

Лiмiт функцыi у пункце.Няхай функцыя y=f(x) вызначана на некаторым бясконцым мн-ве X i няхай x₀-лiмiтавы пункт мн-ва X(г.зн.x₀-пункт бясконцай прамой(- ;+ ), x₀-можа X, а можа не X, але у любым -наваколлi гэтага пункта x₀ змяшчаюцца пункты мн-ва X, якiя адрознiваюцца ад x_0. [Няхай мн-ва Х для δ>0 мае хаця б 1 эл-т, якi належыць iнтэрвалу (x_0, x₀₊ δ) [цi(x₀-δ, x₀)]]

Азн. па Гейне. Лiк АR наз-ца лiмiтам [правым (левым)]ф-цыi y=f(x) у пункце x₀R(цi пры x→x₀) калi для любой паслядоунасцi значэнняу аргумента x₁,x_2,,…,x_n,… збежнай да x₀ i складаючайся з лiкау x_n [ i утрымлiваючай лiкi > x₀(<x₀)], якiя адрознiваюцца ад x₀, адпаведная паслядоунасць значэнняу ф-цыi f(x₁), f(x₂),…, f(x_n)…збягаецца да лiку А. {1) x₀-лiмiтавы пункт D_f ; 2) ( (x_n)) (x_nD_f) (x_n≠ x₀ ∀n∊N) [x_n→x₀,n→(f(x_n)→A пры n→)]}

Азн. па Кашы. Лiк А наз-ца лiмiтам [правым (левым)]ф-цыi y=f(x) у пункце x₀(цi пры x→x₀) калi для  дадатнага лiку  знойдзецца адпаведны яму дадатны лiк ,такi што для усiх значэнняу аргумента х, якiя задавальняюць умове 0<|x-x₀|<δ [x₀<x< x₀ +δ (x₀-δ<x<x₀)] ,праудзiцца няроунасць |f(x)-А|<.{1) x₀-лiмiтавы пункт D_f ; 2) (>0) (δ,δ()>0) (xD_f) [0<|x-x₀|<δ |f(x)-А|<}

Абазн.лiмiт ф-цыi у пункце x₀: Lim_x→x0 f(x)=A [Lim_x→x0+0 f(x)=A (Lim_x→x0-0 f(x)=A)], цi f(x)→ _x→x0 А [f(x₀+0)=A (f(x₀-0)=A)]

Прыклады:1) f(x)=с=соnst мае Lim=c у кожным пункце x₀ бясконцай прамой.( х f(x)-с<0  |f(x)-с|< >0) 2) f(x)=х - | - | - | у кожным x_0.

3) f(x)=sgnx= у пункце x₀=0 f(x) мае левы(-1) i правы(+1) лiмiты, у x₀=0 лiмiту няма. Лiмiт функцыi пры x→. Няхай функцыя y=f(x) зададзена на мн-ве Х, для δ>0 маецца хаця б 1 эл-т, якi не належыць iнтэрвалу [-δ,+δ].

Азн.па Гейне. Лiк АR наз-ца лiмiтам ф-цыi y=f(x) пры x→, калi для любой бясконца вялiкай паслядоунасцi значэнняу аргумента (x_n) адпаведная паслядоунасць значэнняу ф-цыi (f(x_n)) збягаецца да лiку А.

Азн.па Кашы. Лiк А наз-ца лiмiтам ф-цыi y=f(x) пры x→, калi для  дадатнага лiку  знойдзецца адпаведны яму дадатны лiк δ,такi што для усiх значэнняу аргумента х, якiя задавальняюць умове |x|>δ, праудзiцца няроунасць |f(x)-А|<

Абазн: Lim_x→ f(x)=A

Прыклад. f(x)=1/x (x≠0) Lim f(x)=0 пры х→

Азн. Калi Lim_x→ f(x)=A ,то прамая у=А наз-ца гарызантальная асiмптота да графiку ф-цыi y=f(x).

Азн. Калi Lim_x→x0 f(x)= (1) x₀-лiмiтавы пункт D_f ; 2) (>0) (δ,δ()>0) (xD_f) [0<|x-x₀|<δ |f(x)|>  ] )то прамая у=x₀ наз-ца вертыкальнай асiмптотай.

Непарыунасць ф-цыi. Няхай зададзена ф-цыя роуная f(x) i пункт x₀-лiмiтавы пунктмн-ва Х,на якiм зададзена ф-цыя f(x).(любое -наваколле пункта x₀ утрымлiвае пункты D_f, якiя адрознiваюцца ад x₀).

Азн. па Гейне. Ф-цыя y=f(x) наз-ца непарыунай [справа (злева)] у пункце x₀,калi для любой збежнай да x₀ пасляд-сцi значэнняу аргумента х₁,x_2,,…,x_n,… [якiя задав. умове x_n>x₀ (x_n<x₀)] адпаведная пасл-сць зн-няу ф-цыi f(x₁), f(x₂),…, f(x_n)…збягаецца да лiку функцыя f(x₀).

А зн. па Кашы. Ф-цыя y=f(x) наз-ца непарыунай у пункце x₀ [справа (злева)], калi для любога дадатнага лiку  знойдзецца адпаведны яму дадатны лiк δ,такi што для усiх значэнняу аргумента х, якiя задавальняюць умове |x-x₀|<δ

[x₀<x< x₀ +δ (x₀-δ<x<x₀)] праудзiцца няроунасць |f(x)- f(x₀)|< 

Калi ф-цыя f(x) непар. у пункце x₀ i злева, I справа, то яна непарыуна у гэтым пункце. Пункты, у якiх ф-цыя не з’яуляецца непар.- пункты разрыва ф-цыi:

1)1роду: а)пункт скасавальнага разрыву:

f(x₀-0)= f(x0+0)≠ f(x₀) б) пункт з канечным скачком: f(x₀-0)≠ f(x0+0)

2)2 роду: а) з бясконцым скачком:  Lim справа i злева, 1 з iх роуны  б)пункт нявызначанасцi: калi цi Lim справа, цi злева не 

Азн. Функцыя f(x) непар.на [a;b]калi яна непар.у кожным яго унутр.пункце i непар.справа у пункце a i непар.злева у пункце b.[ f(x)-непар.на (a;b)-калi непар.у кожн.пункце iнтервала]