4. Розныя азначэнні функцыі. Тэарэма аб абмежаванасці функцыі, непарыўнай на адрэзку. Тэарэма аб дасягненні функцыяй, непарыўнай на адрэзку, свайго найменшага і найбольшага значэнняў

АЗН 1: Калi кожнаму пастаулены у адпаведнасць элемент , то кажуць што вызначана функцыя f. f=X→Y. y=f(x). х – незалежная зменная i аргумент ф-ыi, у – залежная зменная i значэнне ф-ыi. АЗН 2. Возьмем - дэкартавы здабытак, вылучым падмн-ва , - адпаведнасць паміж элементамі Х і У.

Дэкартавым здабыткам наз мноства усих упарадкаваных пар .

Адпаведнасць наз-ца ф-яй, калі кожнаму элементу з абсягу вызначэння адпавядае адзін элемент з абсягу зн-няў.

АЗН: Ф-ыя w=f(z), у якой абсяг вызначэння і абсяг зн-няў з'яўл. падмн-вамі мн-ва С наз. камплекснай ф-яй. w=u(x,y)+v(x,y)i, дзе u і v - сапраўдныя ф-ыі 2-х зменных, а .

Мноства рэчаiсных лiкау Х={x} наз. абмежаваным зверху (знiзу), калi iснуе рэчаiсны лiк М (m) такi, што выконваецца няроунасць . Калi ж выконваецца няроунасць , то лiкав. пасл-ць наз. абмежаванай.

Разгледзiм пасл-ць Няхай адвольная нарастальная пасл-ць. У такiм разе адпаведная пасл-ць наз-ца падпаслядоунасцю у дачыненнi да першапачатковай пасл-цi (а_n).

Тэарэма Бальцана-Вейерштраса. З кожнай абмежаванай пасл-цi (с_n) можна вылучыць збежную падпаслядоунасць.

Тэарэма (1-я т-ма Вейерштраса) Калі ф-ыя у=f(х) непарыўн. на [a,b], то яна і абмежаваная на гэтым адр-ку. Доказ: f(х) непарыўн. на [a,b], патрэбна дак-ць абмежаванасць. Дапусцім працілеглае, што f(х) будзе неабмежавана зверху, г.зн. , дзе f(x_n)>n. З пасл-ці (x_n) вылучым збежную падпасл-ць на падставе тэар. Бальцана-Вейерштраса , , пры k→ . Тады па крытэру Гейнэ [Крытэр Гейнэ (зводзіць паняцце ліміту ф-ыі ў пункце да ліміту пасл-ці): Каб lim f(х)=А пры х→а неаб. і даст., каб для любой пасл-ці (x_n) , збежнай да а, адпаведная пасл-ць значэнняў ф-ыі (f(x_n)) б. збежнай да А.]

, пры k→ . Але апошняе не магчыма, паколькі падпасл-ць вылучына з Бясконца Вяликай Паслядоунасци (limXn= пры n→ ) і зн. , пры k→ .

Тэарэма:(2-я т-ма Вейерштраса) Калі ф-ыя у=f(х) непарыўн. на [a,b], то яна дасягае сваёй (ніжней) верхней мяжы на гэтым адр-ку, г.зн. існуюць пункты , такія што , .

Доказ: Няхай М=sup {f(x)}; па 1-й тэарэме В. , гэта лік канечны. Няхай (насуперак таму, што трэба даказаць), што заўсёды f(x) < M, г.зн., што граніца М не дасягаецца. У такім выпадку, можна разгледзіць дапаможную функцію . Так як, па здагадцы, назоўнік тут у нуль не пераўтвараецца, то гэта функція будзе непарыўна, а значыць і абмежавана: f(x) . Але адсюль лёгка атрымаць, што тады , г.зн. лік , меней за М, з’яўляецца верхней мяжой для значэння функцыі f(x), чаго быць не можа, так як ёсць дакладная верхняя мяжа гэтых значэнняў. Атрыманае супярэчнасць даказвае тэарэму: на прамежку [a,b] знойдзецца такое значэнне х₀, што f(x₀) = M будзе найбольшім з усіх значэнняў f(x).

5. Азначэнне і ўласцівасці ступені. Ступеневая функцыя ў рэчаісным абсягу

Аз: Для  aR,  фіксаванага nN па аз. aⁿ=a, n=1; aⁿ=aa...a, n>1.

Разгледзім функцыю y=x^, дзе =nN.

Удасцівасці:

1. Гэтая функцыя непарыўна на D_f

2. Цотна (няцотна) каліn цотнае (няцотнае)

3. нарастае на памежку (0;+)

4. Спадае на (-;0) клі n=2k і нарастае калі n=2k+1

5. Е_f=(0;+), калі n=2k і Е_f=R, калі n=2k+1.

Аз: aR/{0}, nN: a^-n =1/aⁿ

Аз. Ступеневая функцыя y=x^1/nN/{1}наз. функцыя адваротная функцыі y=xⁿ , якая разглядаецца на прамежку яе нарастання. [0;+).

Аз: ступеневая функцыя з дробным дадатным паказчыкам наз. функцыя вугляду y=x^p/q, дзе p, q N, q>1, p/q- нескарачальны дроб.

Уласцівасці: 1. D_f=[0;+), клі q=2k, D_f=R, калі q=2k+1. Сапраўды калі q=2k, т. як p/q не скарачальны дроб то p=2k+1 і для таго каб x^p>=0 трэба каб x>=0, гэта магчыма калі q=2k+1- гэты корань існуе і незалежна ад x.

2. Е_f=[0;+), калі p ці q цотныя. Е_f=R, калі p і q няцотныя.

3. непарыўная функцыя як кампазіцыя непарыўных функцый.

4. калі p- цотнае то ф. функцыя цотная, ка p і q няцотныя –ф. няцотная, калі p- няцотнае, а q- цотнае, тоф. не цотная ні няцотная.

5.На прмежку [0;+) функцыя нарастальная

6. Разгледім y/x=x^p/q-1, калі x0, тады p/q-1>0- датычная да Оx; p/q<1- датачная да Оy.

Такім чынам мноства значэнняу ф. можна падзяліць на 6 класаў:

1)p=2k, q=2k+1, p/q>1.

2) p=2k, q=2k+1, 0<p/q<1.

3) p=2k+1, q=2k+1, p/q>1.

4) p=2k+1, q=2k+1, 0<p/q<1.

5) p=2k+1, q=2k, p/q>1.

6) p=2k+1, q=2k,0< p/q<1.

7. Няхай r=p/q . (манатоннасць) а>1 (0<a<1) тады для r₁і r₂Q, такіх што r₁<r₂, выконваецца: a^r1<a^r2, (a^r1>a^r2)

Доказ: няхай a>1, і r₁і r₂Q, трэба даказаць a^r1<a^r2.

няхай r₂-r₁=r, rQ, дзе r- дадатны. r₂=r₁+r, a^r2=a^r1+r=a^r1a^r,

a^r2-a^r1=a^r2a^r -a^r1=a^r1(a^r-1),

З таго, што a^r-1>0 і a^r1>0 вынікае , што a^r1(a^r-1)>0=>a^r2--a^r1>0.

Няхай 0<a<1, r₁і r₂Q і a=1/b, b>1, b^r1<b^r2, тады (1/a)^r1<(1/a)^r2=>1/a^r1<1/a^r2=> a^r1>a^r2.

Доказ: дакажам, што

Аз: Функцыя y=x^-p/q, дзе p і q N, q>1, p/q- нескарачальная дроб, наз. ступеневай функцыяй з дробным адмоуным паказчыкам.Аз: cтупень a^-дадатнага ліку a з іррацыянальным пакзчыкам наз. lima^r , дзе r_n адвольная паслядоунасць рацыянальных лікаў, якая збягаецца да .

! няхай R/Q, y=x^, калі <0, D_f=(0; +); >0,

D_f=[0; +);