2. Кольца. Прыклады кольцаў. Прасцейшыя ўласцівасці кальца. Падкольца. Гомамарфізмы і ізамарфізмы кольцаў

Азн. Няхай К на якім зададзена + і * . - зададзена кольца, калі:

1. +асац. (а+в)+с=а+(в+с)

2. 

3. 

4. камутат

5. * асац (ав)с=а(вс)

6. дыстрыбут. (а+в)с=ас+вс

7. с(а+в)=са+св.

Прыклады кольцаў: Z, Q, R, C, F, P[x], L, P^∞, Z_m.

Азн. Калі аперацыя + камутат-ая у кольцы, тады кольца наз камутат-ым.

Азн. Калі К камутат-ае кольца з 1, , то К – поле.

Прасцейшыя ўласцівасці кальца:

1. калі існуе нейтральны, то ен адзіны.

2. калі існуе працілеглы, то ен адзіны.

3. у кальцы К а*0=0*а=0

4. (-а)*в=-(ав)

5. (-а)*(-в)=ав

6. (а-в)с=ас-вс, а-в=а+(-в).

Азн. Няхай і . Калі - з’яуляецца кольцам адносна аперацый якія у , тады наз падкальцом кольца .

Прыкл. : .

Азн. Няхай дадзена 2 кольца і Адл-не f: наз гамамарфізмам кольцау, калі яно захоувае абедзве аперацыіі.

1. f(a+b)= f(a) f(b)

2. f(ab)= f(a) f(b).

Азн. Біектыўны гамамарфізм f: K→K^/ наз ізамарфізмам кальца К на К^/.

Азн. - ідэал , калі падкольца і і .

Крытэрый ідэала: Калі і , тады .

Лема(сумежн класау). .

Ул-ць: - кольца, яно наз фактаркольца кольца па ідэалу .

3. Сістэма натуральных лікаў

Сістэма аксіем мн-ва нат-х лікаў была прапанавана Джузэппе Піана.

Азн. Непустое мн-ва N наз. мн-вам натур-х лікаў, калі на ім вызначана дачыненне паміж эл-тамі гэтага мн-ва N “iдзе непасрэдна за” (калі нейкі эл-т “iдзе непасрэдна за” эл-там а, то яго будзем абазн. ) такі, што (аксіемы): 1) такі эл-т 1, які не “iдзе непасрэдна за” ні за якім лікам. , 2) любы нат. лік, акрамя 1 “iдзе непасрэдна за” толькі за адным нат. лікам. , 3) за кожным нат. лікам “iдзе непасрэдна за” толькі адзін нат. лік. , 4) аксіема індукцыі: нях. (падмн-ва мн-ва) і а) , б) , тады і супадаюць: .

Азн. Складаннем 2-х нат. лікаў наз. унутраная бінарная аперацыя + для якой выконваюцца 2 аксіемы: 1) , 2) .

Т. 1 , Т. 2

Т. 3

Т. 4

Азн. Множаннем 2-х нат. лікаў наз. унутраная бінарная аперацыя для якой выконваюцца 2 аксіемы: 1) , 2) .

Т. 1 – дыстрыб-ць., Т. 2

Т. 3

Т. 4

Т.1 Вызначым дачыненне . Вызначанае дачыненне з’яўл. дачыненнм строгага парадку.

Т. 2 Парадак на мн-ве нат. лікаў з’яўл. лінейным, г. зн., што выконваецца толькі адна з 3-х умоў: 1) , 2) 3) .

Т. 3 З-ны манатоннасці: 1) , 2) .

Т. 4 З-ны скарачальнасці: 1) , 2) .

Т. 5 Аксіема Архімеда: , што .

Дакажым, напр. 1 і 2 тэарэмы уласцівасцей складання.

Т. 1

□ Зафіксуем a і b і прыменім індукцыю па с. Калі , то . Нях. мае месца для с, тады . Па аксіеме індукцыі наша сцвярджэнне мае месца для ўсіх с. ■

Т. 2

□ ■

4. Кольца цэлых лікаў. Тэарэма аб дзяленні з астачай

, разгл на ім бінарнае дачыненне , такое што

Азн. Цэлы лік – клас эквів элем з адносна дачынення эквівалентнасці . Мн-ва усіх класау эквівал – мн-ва цэлых лікау, абазн . Клас эквівал пары абазн , цэлыя лікі грэц літарамі

Азн. Складанне цэлых лікаў: і - цэлы лік .

Азн. Множанне цэлых лікаў: і - цэлы лік

Азн. Кольца наз. лінейна-упарадкаваным, калі на ім можна задаць такі парадак, што: 1) , 2) .

Т. 1 (пераўтварэнне кольца ў лінейна-упарадкаванае кольца) Нях. , што 1) , 2) , 3) , 4) . .

Т. 2 Кольца з’яўл. лінейна-упарадкаваным.

Азн. Падзяліць цэлы лік а на цэлы лік , г. зн. прадставіць лік а у выглядзе: .

Т. аб дзяленні з астачай. Для любога цэлага ліку а і , што .

□ а) : 1) Зафіксуем лік b і праменіміндукцыю па а: . Дапусцім, што наша сцвярджэнне мае месца пры : . : . Калі , то . Калі , то . Мы даказалі для ўсіх нат-х а і любога фіксаванага . 2) , 3) , , ,

б) Выпадак разглядаецца аналагічна. в) Дакажым адзінасць: нях. . Пакажым, што (ад процілеглага) Нях. , , тады . – супярэчнасць. . – разгл. аналагічна.■

Пр. 1 15=4*3+3, -15=4*(-4)+1, -15=(-4)*4+1, 15=(-4)*(-3)+3.