14. Гладкія крывыя ў трохмернай эўклідавай прасторы. Формулы Фрэнэ

(пункт атаесамляецца з яго радыусам-вектарам , t є [a,b] → r ^→ (t)-вектар-функцыя)

( Азн1: Кожнае адлюстраванне выгляду [a,b] → V, дзе V – мноства вектароу прасторы наз. вектар-функцыяй аднаго скалярнага аргумента).

[a,b]э t→M(t) параметрызаваная крывая

t→M(t)→OM^→(t)= r^→(t)

t→ r^→(t)= OM^→(t) →M(t)

M(t)↔ r^→(t)

M(x(t),y(t),z(t))≡ r^→(t)=x(t)i^→+y(t)j^→+z(t)k^→Гэта гаворыць,што параметрыз. Крывая и вектар-ф-цыя адно и тое.

Азн.: Пад параметрыз. крывой у прасторы будзем разумець адвольную вектар-ф-цыю аднаго скалярнага аргумента.M(t)≡r^→(t)

Азн.: Крывая r^→(t) наз. гладкай, кали яна мае патрэбную колькасць вытворных. r^→’(t), r^→”(t)….

Азн.: Гладкая крывая наз. рэгулярнай, кали r^→’(t)≠0^→.

Сцв 1. Нях. r^→(t) – рэгулярная крывая, tє[a,b], тады яе даужыню м. знайсци па формуле

.

Сцв 2. Кожная рэгул. крывая дапускае натур. параметрызацыю.

Д оказ:

Праверым рэгулярнасць .

Вытворныя вектор-ф-цыи па натур. параметру б\ абазнач.кропкай

Сцв 3. Для кожнага значэння натур. параметра даужыня вектара=1

Доказ: З сцв.1выникае

С цв. 4. Пры кожным значэнни натур. парметра

Д оказ:

канец

Б\личыць, што

утвараюць суправаджальны базис Фрэнэ

Формулы Фрэнэ:

K(s) – крывизна (х-е ступень адхилення нашай крывой ад прамой у наваколли пункта)

χ(s) – кручэнне (х-е ступень адхилення рэгулярнай крывой адплоскасци у наваколли пункта).

15. Гладкія паверхні ў трохмернай эўклідавай прасторы. Першая квадратычная форма паверхні

Азн. Пад паверхняй у прасторы б\разумець адвольную вектор-функцыю 2-ух скаляр. зменных .

Азн. Паверхня наз.гладкай,кали яе каард. ф-цыи маюць патрэбную колькасць частковых вытворных.

Азн. Паверхня наз. рэгулярнай, кали лин. незал. для любой пары (u,v) з W

( u(t),v(t)) крывая у W

Праз любы пункт паверхни праходзяць 2 каардынатныя крывыя.

Сцв. Вектары ёсць датычныя вектары да каардынатных крывых паверхни, якия праходзяць праз пункт (u₀,v₀)

Д оказ:

( Кали паверхни рэгулярныя, то розным пунктам W м\адпавядаць аднолькавыя пункты паверхни.За кошт памяншэння W м\дабицца,каб розным адпавядали розныя. )

«Унутранная геаметрыя паверхни» (Гаус)

Змяненне паверхни б\наз. изгибам, кали захойваецца даужыня кожнай крывой на паверхни.Зусим розныя паверхни у прасторы м\мець аднолькавую унутранную геаметрыю.

Вывод 1-ой квадратычнай

(Кали 2-е паверхни маюць = Першая кв.. Ф-му, то их унутраныя геаметрыи супадаюць, пры гэтым сами паверхни м\б розными.Першая кв. ф-ма залежыць тольки ад крывизны.З дапамогай Першай кв. ф-мы м\падличыць вугал п\ж крывыми на паверхни,плошчу частки паверхни.

Кали кард. Прамыя перасякаюцца пад вуглом 90,тоF=0.Пр:параллели и мерыдыяны.)

МАТАН

1. Ліміт лікавай паслядоўнасці. Існаванне дакладнай верхняй мяжы абмежаванага зверху мноства. Тэарэма аб ліміце манатоннай паслядоўнасці.

2. Неабходная і дастатковая прымета збежнасці паслядоўнасці.

3. Ліміт лікавай паслядоўнасці. Тэарэма Бальцана-Вейерштраса.

4. Розныя азначэнні функцыі. Тэарэма аб абмежаванасці функцыі, непарыўнай на адрэзку.

Тэарэма аб дасягненні функцыяй, непарыўнай на адрэзку, свайго найменшага і найбольшага значэнняў.

5. Азначэнне і уласцівасці ступені. Ступеневая функцыя ў рэчаісным абсягу.

6. Розныя азначэнні ліміту і непарыўнасці функцыі ў пункце. Тэарэма аб прамежкавых значэннях непарыўнай функцыі.

7. Трыганаметрычныя функцыі ў рэчаісным абсягу. Расклад сінуса і косінуса ў ступеневы шэраг.

8. Лагарыфмічная функцыя і яе асноўныя ўласцівасці. Раскладанне у ступеневы шэраг.

9. Паказнікавая функцыя і яе асноўныя уласцівасці. Расклад у ступеневы шэраг.

10. Экстрэмум функцыі. Умовы экстрэмуму. Знаходжанне найбольшага і найменшага значэнняў функцыі, дыферэнцавальнай на адрэзку.

11. Азначэнне даўжыні дугі. Яе вылічэнне з дапамогай вызначанага інтэграла.

12. Тэарэма Лагранжа. Прыметы сталасці і манатоннасці функцыі.

13. Дыферэнцаванне функцый адной і некалькіх зменных. Геаметрычны і механічны сэнс вытворнай.

14. Паняцце вызначанага інтэграла. Тэарэма аб інтэгравальнасці непарыўнай функцыі.

15. Азначэнне плошчы плоскай фігуры. Яе вылічэнне з дапамогай вызначанага інтэграла.

16. Тэарэма аб вызначаным інтэграле са зменнай верхнім лімітам. Формула Ньютона-Лейбніца.

17. Шэраг Тэйлара. Прыметы раскладання рэчаісных функцый у ступеневы шэраг.

18. Функцыйныя паслядоўнасці і шэрагі. Раўнамерная збежнасць і яе прыметы.

Тэарэма аб непарыўнасці сумы функцыйнага шэрагу.

19. Абсалютна і ўмоўна збежныя лікавыя шэрагі.

20. Звычайныя дыферэнцыяльныя раўнанні першага парадку. Раўнанні са зменнымі, якія падзяляюцца. Лінейныя раўнанні.

21. Лінейнае аднароднае дыферэнцыяльнае раўнанне другога парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі і выкарыстанне яго пры вывучэнні вольных ваганняў.

22. Паняцце метрычнай прасторы і прыклады такіх прастораў. Адкрытыя і замкнутыя мноствы і іх уластцівасці.

23. Паняцце поўнай метрычнай прасторы. Паўната эўклідавай р-мернай прасторы і прасторы непарыўных функцый.

24. Тэарэма Банаха аб сціскальным адлюстраванні. Выкарыстанне тэарэмы Банаха аб сціскальным адлюстраванні.

25. Паняцце кубавальнасці і аб'ёму целаў.

26. Магутнасць мноства. Злічоныя мноствы і іх уласцівасці.

27. Магутнасць мноства. Незлічонасць мноства рэчаісных лікаў.

28. Паказнікавая функцыя камплекснай зменнай. Эйлеравы формулы.

29. Асноўная тэарэма алгебры.

30. Вытворная функцыі камплекснай зменнай. Умовы дыферэнцавальнасці. Паняцце аналітычнай функцыі.