13. Плоскасць Лабачэўскага. Узаемнае размяшчэнне дзвюх прамых на плоскасці Лабачэўскага. Несупярэчлівасць сістэмы аксіём планіметрыі Лабачэўскага

Iснуюць розныя сучасныя сiстэмы аксіём эуклидавай геаметрыи.З их найбольш близкая да аксияматыки самаго Эуклида-систэма аксіём Гильберта. Ёй мы и будзем карыстацца у далейшым.

Сістэма аксіём Гильберта змяшчае 20 аксіём. Апошняя з их- аксіёма паралельнасци,эквивалентная V пастулату Эуклида. Геаметрыя Лабачэускага узникла пры спробе даказаць, што V пастулат (а таму и аксіёма паралельнасци) з’яуляецца не аксіёмай, а тэарэмай. Разважаючы ад процилеглага и спрабуючы атрымаць супярэчнасць з дапамогай адмаулення аксіёмы паралельнасци Лабачэуски прыйшоу да вынику,што замест гэтага атрымалася не супярэчливая геаметрвчная сiстэма, якую зараз называюць геаметрыяй Лабачэускага.Гэта новая геаметрыя м\б пабудавана з дапамогай першых 19 аксіём Гильберта и аксіёмы Лабачэускага, якая эквивалентна адмауленню аксіёмы паралельнасци.

Аксіёма Лабачэускага: Праз кожны пункт па-за дадзенай прамой у плоскасци, вызначанай гэтым пунктам и гэтай прамой, праходзяць па меншай меры 2 прамыя, якия не перасякаюць дадзеную.

А гульная частка эуклидавай геаметрыи и геаметрыи Лабачэускага наз.абсалютнай геаметрыяй. Адным з важных фактау абсалютнай геаметрыи з’яуляецца тэарэма Лажандра-Саккера: Сума вуглоу кожнага трохвугольника не можа быць ольш за 2 прамых.

Разгледзим плоскасць Лабачэускага.Можна даказаць, што на ёй праз кожны пункт па-за дадзенай прамой праходзиць бясконца многа прамых, якия не перасякаюць дадзеную.

Няхай b-адна з бясконцага мноства прамых,якия праходзяць праз пункт А и не перасякаюць прамую a.Абазначым праз вугал у радыянах памиж b и перпендыкулярам, апушч.з пункта А на прамую a.Разгледзим бясконцае мноства таких . Видавочна, што – абмежаванае знизу ликавае мноства и мае нижнюю мяжу x₀. Няхай a’ – прамая,якая праходзиць праз А пад вуглом да перпендыкуляра АВ.Можна даказаць, што a’не перасякае прамую а и з’яуляецца граничнай прамой памиж прамыми, якия перасякаюць а и прамыми, якия а не перасякаюць.

a’ – паралельная прамая и па Лабачэускаму. Прамая a” симетрычная a’ адносна АВ, таксама параллельна а.Прамыя b, якия не перасякаюць прамую а и не параллельны a’ наз. звышпаралельнами да а.

А писанне узаемнага размяшчэння 2 паралельных пармых на плоскасти Лабачэуского дае наступная тэарэма.

Тэарэма1: Адлегласць ад пункта адной з параллельных да др. неабмежавана спадае пры перамячшэнни пункта у напрамку паралельнасци, а пры перамячшэнни пункта у працилеглым напрамку-неабмежавана нарастае.(таму прамыя малююць крывыми).

У заемнае размяшчэнне звышпаралельных прамых аписвае

тэарэма2: Кожныя 2 звышпаралельныя прамыя маюць агульны перпендыкуляр и пры гэтым тольки 1. Адлегласць ад пункта адной з звышпараллельных да др. неабмежавана нарастае пры удаленни гэтага пункта ад их агульнага перпендыкуляра.

Л абачэуски не змог строга даказаць несупярэчливасць сваёй геаметрыи. Гэта удалося нямецкаму матэматыку Феликсу Клейну, кали у 1871 ён пабудавау з дапамогай праектыунай геаметрыи мадэль плоскасци Лабачэускага. З иснавання такой мадэли выникае, што геаметрая Лабачэускага несупярэчлива, кали несупярэчлива праектыуная геаметрыя (апошняе сумненняу не вызывае). Апишам мадэль Клейна плоскасци Лабачэускага.

Н яхай Ф-акружнасць эуклидавай плоскасци R₂, якая разглядаецца як частка праектыунай плоскасци . Абазначым праз М мноства усих пунктау R₂, якия знаходзяцца у нутры Ф. Няхай G – мноства усих праектыуных пераутварэнняу , якия захоуваюць Ф: . Кали ΨєG,тоΨ(М)=М.Т.ч.G можна разглядаць як группу пераутварэнняу мноства М.Пры гэтым на М узникае некаторая G-геаметрыя, якая вывучае уласцивасци фигур мноства М, такия, што яны захоуваюцца пры усих пераутварэннях ΨєG. Гэта G-геаметрыя и ёсць планиметрыя Лабачэускага. Пры гэтым пад «пунктам» разумеюць кожны пункт мноства М, пад «прамой»–кожную хорду без канцоу. Адносины «прыналежнасци» и «памиж» разумеюцца звычайным чынам. Два адрэзка ци 2 вугла личацца «кангруэнтными»,кали адзин з их пераводзицца у други некаторым пераутварэннем ΨєG.

У мадэли Клейна выконваюцца усе мадэли Гильберта, акрамя аксиёмы паралельнасци. На мал. добра видаць, што праз А праходзиць бясконца многа «прамых», якия не перасякаюць «прамую» а. Пры гэтым прамыя a' и a'' параллельны прамой а па Лабачэускаму, а «прамая»b звышпаралельна да «прамой»а.

Т.ч., у мадэли Клейна выконваюцца усе аксиёмы плоскасци Лабачэускага. Гэта даказвае, што аксиёма паралельнасци не з’яуляецца тэарэмай, г.з. не выникае з астатних аксиём Гильберта. Тым самым атрымливаецца рашэнне праблемы V пастулата Эуклида.