12. Сістэма аксіём Гільберта трохмернай эўклідавай прасторы

Асноўныя аб’екты: пункты, прамыя, плоскасці.

Асноўныя адносіны:прыналежнасци (пункты могуць належаць прамым и пласкасцям), парадку (для кожных 3-х пунктау прамой адзин з их знах-ца памиж 2-ма астатними), кангруэнтнасці (адрэзкау, вуглоу). Азначэнне ўсяго гэтага не разглядаецца. Усе, што трэба аб гэтым ведаць пералічваецца ў акс-х. Усяго 20 акс., 5 груп.

I гр. (8)-акс. інцыдэнтнасці

1. Д ля кожных 2-х пунктаў А і В існуе адзиная прамая, якой належаць А і В.

2. Для кожных 3-х пунктаў А, В і С, якія не належаць адной прамой існуе адзиная пл-ць, якой належаць А,В,С. На кожнай пл-ці знах. хаця б 1 пункт.

3. Калі 2 пл-ці маюць агульны п. А. то яны маюць па меншай меры яшчэ 1 агульны п. В.

II гр.(4)-акс. парадку

1. Д ля кожных 2-х пунктаў А і В на прамой АВ існуе па меншай меры 1 п.С такі, што В знах. паміж А і С. Уводзіцца паняцце адрэзка.

2. Аксіёма Паша Няхай АВС-3 пункты, я-я не належаць адной прамой, і а -прамая ў пл-ці АВС, я-я не праходзіць ні праз адзін з пунктаў А,В,С. Калі пры гэтым прамая а прах. праз 1 з пунктаў адрэзка АВ, то яна павінна прайсці або праз 1 з пунктаў адр. АС, або праз 1 з пунктаў адр. ВС. Уводзіцца паняцце паўплоскасці, промня, вугла, трохвугольника.

III гр.(5)-акс. кангруэнтнасці. Гаворка ідзе аб кангруэнтнасці адрэзкаў і кангр. вуглоў.

1. Д ля кожнага адрэзка АВ і кожнага промня [0,х) заўседы м. знайсці п. В` гэтага промня, такі што адр. АВ кангр-ны адр-ку ОВ`.

2. Няхай дадзены выпуклы вугал АОВ, прамень [О`,А`) і паўпл-ць П`, абмежаваная прамой О`А`, тады ў паўпл-ці П` існуе адзіны прамень [О`,В`) такі, што <АОВ кангруэнцен <А`О`В`/

IV гр.(2)-акс. непарыўнасці.

1. а ксіёма Архімеда

Няхай АВ і СD-адвольныя адр., тады на прамой АВ існуе канечная колк. пунктаў А₁,А₂..,А_n , такіх што адрэзкі АА₁,АА₂,..,А_n-1A_n-кангр-ы адрэзку CD і пры гэтым п.В знах. паміж А_n-1 і А_n.

V гр.(1)-акс. паралельнасці

Няхай а- адвольная прамая, А - пункт. па-за гэтай прамой. Тады ў пл-ці вызначанай прамой а і п. А, існуе не больш 1-ой прамой, я-я прах. праз п.А і не перасякае прамую а .Існаванне такой прамоу м. дак-ць.

Сістэма аксіём Вейля.

Асн. аб’екты - сапр. лікі, вектары, пункты.

Асн. адносіны - складанне вектараў,множанне вектара на лік, скалярны здабытак вект., адкладванне вектара ад пункта.

Аксіяматыка Вейля змяшчае 15 аксіём. Усе аксіёмы ўтв-ць 5 груп аксіём: 4 аксіёмы складання вект., 4 акс. множ. вект. на лік, 2 акс. размернасці, 3 акс. скалярнага здабытку, 2 акс. адклад. вектара ад пункта. V-вектары, E-пункты,сістэма акс. Вейля эўкл. геам. несупярэчліва, калі несуп-ва тэорыя сапр. лікаў.

Сувязь паміж сіст. акс. Вейля і Гільберта.

З дап. сіст. акс. Гільб. м. вызначыць паняцце вектара і увесці складанне вектароў, множ. вект. на лік, склад. здабытак і адклад. вект. ад пункта. Пры гэтым усе акс. Вейля дак-ца як тэар. з пункта гл. сіст-мы акс. Гільб. Гэта зн., што кожная тэар., дак-ая па Вейлю, м.б. дак-на па Гільб-ту. Наадв., з дап. сіст. акс. Вейля м. увесці паняцце прамой, пл-ці, вызначыць паняцці ляжаць паміж, кангр-ць. Пры гэтым кожн. акс. Гільберта з’яўл. тэар. па Вейлю, таму кожн. тэар. па Гільб-ту з’яў л. тэар. па Вейлю. Можна казаць у гэтым сэнсе, што аксіяматыкі Гільб. і Вейля эквівал-ны.

Любое понятие по Вейлю м. определить ч/з сист. акс. Гильб. и наоборот,т.как эти сист. аксиом эквивалентны.

Аксиома (Гильберт):

У Вейля: -кангруэнтность, когда

Д-з: ( ).