3. Паралелаграм: Відарысам дадзенага паралелаграма м.Б. Адвольны пар-м.

Выкарыстоўваем паралельнасць прамых.

4. Трапецыя: Відарысам дадзенай трапецыі м.б. адвольная трапецыя з той жа адносінай асноў. Т.як // прамых захоўваецца, то трапецыя перах. у трапецыю. Дак-на, што відарыс трапецыі есць трапецыя з той жа адносінай асноў.

5. Акружнасць: Разгледзім паняцце афін. адлюстр. плоскасці на плоскасць. П, П¹.

П ры афін. пераўтв. пл-ці эліпс заўсёды пераходзіць у эліпс. Для афін. адлюстр-ня усё тое ж самае: эліпс пераходзіць у эліпс. Пакжам, што парал. праект-не плоскасці на плоскасць есць афін. адл-не. Адсюль будзе вынікаць, што відарысам акр-ці з’яўл. эліпс. Відавочна, што наша парал. праектаванне ёсць афін. адлюстр-не, якое задаецца рэперамі Відарысам перпенд-ых дыяметраў акр-ці з’яўл. спалучаныя дыяметры эліпса. Раней было даказана, што эліпс адназначна вызначаецца сваімі спалучанымі дыяметрамі.

6. Відарыс правільнага щасцівугольніка будуецца на аснове задачы з правільным трохвугольнікам.

З адача: Пабудаваць відарыс правільнага трохвугольніка, упісанага ў акружнасць.

10. Відарысы прасторавых фігур у паралельнай праекцыі

Відарыс фігуры – гэта яе праекцыя з дакладнасцю да падобнасці.Тэарэма Польке-Шварца: Відарысам дадзенага тэтраэдра м.б. адвольны плоскі чатырохвугольнік разам з яго дыяганалямі.

Куб. Вылучым дапаможны тэтраэдр. Прыменім тэарэму Полльце-Шварца, потым дастрайваем.

Атрыманы відарыс - правільны, але не наглядны. Мы ніколі не бачым куб у такім выглядзе.

Пры прамавугольным і праектаванні праектавальныя прамыя перпенд-ны плоскасці праекцыі, пры касавугольным не. Атрыманы відарыс куба атрымл. пры касавугольнай праекцыі.

Паралелепіпед. Для яго верна ўсё, што гаварылася аб кубе. Калі парал-д прамы, то бакавыя канты лепей маляваць вертыкальна.

Прызма. Разгледзім дапаможны тэтраэдр. Прыменім тэарэму Полльце-Шварца.

Потым, карыстаючыся тэарэмай ( калі пры парал. праект. вядомы відарысы 3-х пунктаў агульнага становішча плоскасці, то можна пабудаваць відарыс адвольнага пункта плоскасці) будуем відарыс ніжняй асновы прызмы.

Пасля гэтага застаецца выкар-ць парал-ць прамых.

Цыліндр. А₀В₀, А₀С₀ - спалучаныя дыяметры эліпса.Згодна тэар. Польце-Шварца А₀В₀С₀D₀ ёсць відарыс тэтраэдра ABCD у некат. парал-ай праекцыі.

Пры гэтым, відарысам ніжняй асновы арыгінала будзе нейкі эліпс са спалуч-мі дыям-мі А₀В₀, А₀С₀. Так як эліпс адназначна вызначаецца сваімі спал-мі дыям-мі, то гэты відарыс супадае з асновай відарыса.

Шар. Пры паралельным праектаванні шара заўсёды разгл. выпадак, калі гэта праектаванне прамавугольнае.

Пры гэтым контур шара атрымл. у выглядзе акружнасці. Вось шара - гэта дыяметр шара плоскасці сячэння.

11. Сістэма аксіём Вейля трохмернай эўклідавай прасторы і яе несупярэчлівасць

Асн. аб’екты – сапр. лікі, вектары, пункты.

Асн. адносіны – складанне вектараў,множанне вектара на лік, скалярны здабытак вект.( Скалярным здабыткам ненулявых вектараў і наз. лік, які роўны здабытку даўжынь гэтых вектараў, памножан. на cos вугла паміж вектарамі. =│ │*│ │cos(а^в)), адкладванне вектара ад пункта.

Аксіяматыка Вейля змяшчае 15 аксіём. Усе аксіёмы ўтв-ць 5 груп аксіём: 4 аксіёмы складання вект., 4 акс. множ. вект. на лік, 2 акс. размернасці, 3 акс. скалярнага здабытку, 2 акс. адклад. вектара ад пункта. V-вектары, E-пункты.

I гр.(4 акс.) – аксіёмы складання вектараў.

1. 

2. 

3. 

4. 

II гр. (4 акс.) – акс. множ. вект. на лік.

5.

6.

7.

8.

Мн-ва V з аперацыямі і есць вект. пр-ра.

III гр. (2 акс.) – аксіёмы размернасці.

9.

10.

V - 3-х мерная вектарная прастора.

I V гр. (3 акс.) – акс. скалярнага здабытку.

11.

12. 13.

• н яроўнасць Кашы-Бунякоўскага. Дак-ца, што існуе базіс , такі што даўжыня кожнага вектара адзінка

V - 3-х мерная эўклідава прастора.

V гр. (2 акс.)- акс. адклад. вектара ад пункта.

14.

15.

Мн-ва пунктаў Е наз. 3-х мернай эўклідавай прасторай.

Першае пытанне, якое ўзнікае пры рабоце з сіст. аксіём - гэта пытанне аб яе несупярэчлівасці (няхай иснуе сист. аксием – А1, А2, .., Аn. гэта сист. аксием наз супярэчливай, кали з яе дапамогай можна дак-ць 2 тэарэмы, якия супяр-ць адна другой). Для сіст. акс. Эўкліда гэта пытанне ўзнікае толькі пасля аналаг. пытання для геам. Лабачэўскага. Клейн даказаў, што геам. Лабач. несупяр, калі несупяр. геам. Эўкліда.

Адна з магч-цей доказу несупяр-ці такая. Выбір нейкая надзейная матэм-я тэорыя, напр., тэорыя сапр. лікаў, з ўсіми асн аб’ектам і асн адносінам надаецца нейкі арыфм сэнс. Пры гэтым пав быць, каб усе аксіёмы пры гэтым былі вернымі арыфм. Сцв-мі. Калі ўсё гэта атр-ся, то м. сцв-ць, што наша сіст. акс. несупяр, калі несупяр-ва тэорыя сапр. лікаў.

Арыфм. мадэль сістэмы акс. Вейля

Асн. аб’екты: пад вектарам будзем разумець тройку сапр. лікаў у квадр. дужках [a₁,a₂,a₃]; пункт - тройка сапр. лікаў у круглых дужках (a₁,a₂,a₃)

Адносіны:

I [a₁,a₂,a₃]+ [b₁,b₂,b₃]= [a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃] прав-ка першых 4-х акс. Вейля вельмі прстая

II аксіёмы 5-8 легка праверыць

III I [a₁,a₂,a₃] [b₁,b₂,b₃]= a₁b₁+a₂b₂₊a₃b₃

* А=(a₁,a₂,a₃) В=(b₁,b₂,b₃)

Праверым 2 апошнія аксіёмы Вейля:

Відавочна (**) - верна. Т.ч. даказана наступная

Тэарэма: сістэма акс. Вейля эўкл. геам. несупярэчліва, калі несуп-ва тэорыя сапр. лікаў. (несуп-ць тэорыі сапр. лікаў яшчэ не даказана)