7. Паняцце праектыўнай плоскасці

У трохмерн. эуклід. пр-ры R₃, , разгл. звязку Р₂(S) з цэнтрам у п.S - мн-ва усяляких прямых і пл-цей, якія праходзяць праз п.S. У выпадку будзем гаварыць, што прамая а інцыдэнтна пл-ци , альбо пл-ць інцыдэнтна прамой а. .

пры цэнтральным праектаваннипрамыя пераходзяць у прамыя, але паралельнасць прамых не захоуваецца, не захоув. вуглы и прамая адносина 3-х пунктау( ).

Разгл. пл-ць R₂, якая не праходз.п/з цэнтр звязкі S. у далейшым пад R₂ б. разумець пункты і пр. гэтай пл-ці.

Разгл. адлюстр якое кожн. п. А ставіць у адпаведн пр. звязкі SA, а кожн пр - пл-ць звязкі SA. – перспектыунае адлюстр. пл-ці R_2.

Д ля далейшага важна, што захоув адносіну інцыдэнтнасці: (1)

Адл. не з’яуляецца узаемна адназначным, таму што пл-ць звязкі //-ная пл-ці R₂ не мае правобраза. Не маюць правобраза і усе пр. звязкі, якія інцыдэнтны пл-ці . Такія пр. звязкі наз асаблівымі (іх многа), а пл-ць – асабл. пл-цю (адна).

Адл. зрабілася б узаемна адназн, калі б мы дамовіліся, што кожн асабл пр перасякае пл-ць R₂ у бясконца адлеглым п., а асбл пл-ць перасяк R₂ на -ца адлеглай пр. Пры гэтым розн асабл пр звязкі адпав-ць розн -ца адлеглыя п. R₂.

Праектыуная пл-ць – пл-ць R₂ разам з далучанымі да яе няуласнымі эл-тамі – няуласнымі п. , і няуласнай пр. а . Пры гэтым узнікау узаемна адназн адл , якое на уласныя эл-ты дзейнічае, як і , а няуласныя эл-ты переводзіць у асабл пр. і асабл пл-ць . Адл. наз. перспектыуным.

Улічваючы (1), натуральна патрабаваць, каб адл. таксама захоувала адносіну інцыдэнтнасці: (2) для уласных і няуласных эл-тау . Неабходныя ул-ці эл-тау :

1. Кожны няуласны п. інцыд-ы няул пр. .

2. Кожная уласн пр інцыд-а некатораму няуласн п. і толькі аднаму.

( на рис. , - векторы)

Разгл звязку і у R₃ аф. рэпер . Кожная пр. звязкі вызн-ца кіроуным вект . які вызн-ца тройкай сваіх кардынат (x₁, x₂, x₃) у базісе . У выніку вызн. тройкай лікау (x₁, x₂, x₃).

Замест вектара , м.б. выбраць вект , , то тройка вызн. з дакладнасцю да лікавага множніка. (x₁, x₂, x₃) – праект. каард. пр. звязкі . Будзем пісаць .

Разгл праект пл-ць , - яе персп. адл. Т.я. узаемна адназн, то калі і , то п.А м. прыпісаць праект каард. . Т.ч. на узнікае праект. сіст. каард.

Т 1 (без д-зу): Е₁, Е₂, Е₃, Е₀ – адв. 4 п. , ніякія 3 з якіх не інцыд. адной пр. Тады на адзіная сіст праект каард, у якой Е₁(1:0:0), Е₂ (0:1:0) , Е₃(0:0:1) , Е₀ (1:1:1).

E₁, E₂, E₃, E₀ – праект. репер пл-ці.

А , В, С, D – розн. п , інцыд-ныя адной пр. Іх каард-ыя слупкі - . З малюнка бачна, што .

(АВСD)= – складаная адносіна п. А, В, С, D.

8. Праектыўныя пераўтварэнні плоскасці

Праектыуная пл-ць – пл-ць R₂ разам з далучанымі да яе няуласнымі эл-тамі – няуласнымі п. , і няуласнай пр. а . Пры гэтым узнікау узаемна адназн адл , якое на уласныя эл-ты дзейнічае, як і , а няуласныя эл-ты переводзіць у асабл пр. і асабл пл-ць . Адл. наз. перспектыуным.

Улічваючы (1), натуральна патрабаваць, каб адл. таксама захоувала адносіну інцыдэнтнасці: (2) для уласных і няуласных эл-тау . Неабходныя ул-ці эл-тау :

1. Кожны няуласны п. інцыд-ы няул пр. .

2. Кожная уласн пр інцыд-а некатораму няуласн п. і толькі аднаму.

( на рис. , - векторы)

Разгл звязку і у R₃ аф. рэпер . Кожная пр. звязкі вызн-ца кіроуным вект . які вызн-ца тройкай сваіх кардынат (x₁, x₂, x₃) у базісе . У выніку вызн. тройкай лікау (x₁, x₂, x₃).

Замест вектара , м.б. выбраць вект , , то тройка вызн. з дакладнасцю да лікавага множніка. (x₁, x₂, x₃) – праект. каард. пр. звязкі . Будзем пісаць .

Разгл праект пл-ць , - яе персп. адл. Т.я. узаемна адназн, то калі і , то п.А м. прыпісаць праект каард. . Т.ч. на узнікае праект. сіст. каард.

Т 1 (без д-зу): Е₁, Е₂, Е₃, Е₀ – адв. 4 п. , ніякія 3 з якіх не інцыд. адной пр. Тады на адзіная сіст праект каард, у якой Е₁(1:0:0), Е₂ (0:1:0) , Е₃(0:0:1) , Е₀ (1:1:1).

E₁, E₂, E₃, E₀ – праект. репер пл-ці. А, В, С, D – розн. п , інцыд-ныя адной пр. Іх каард-ыя слупкі - . З малюнка бачна, што .

(АВСD)= – складаная адносіна п. А, В, С, D.

Праект. Пераутв. пл-ці вызн. з дап. 2 праект. рэперау E₁, E₂, E₃, E₀ і E₁’, E₂’, E₃’, E₀’. Пры гэтым пераводз. п. у п. , які у др. рэперы мае тыя ж праект. каард., якія мае М у першым рэперы.

Т 2 (без д-зу): Кожнае праект. Пераутв. пл-ці узаемна адназначна, прамыя пераводзіць у прамыя і захоувае складаную адносіну 4 п. Верна і адв. сцв.

Мн-ва усіх праект пераутв пл-ці утварае групу пераутв-яу .

Праектыуная геаметрыя пл-ці вывучае ул-ці фігур , якія захоув-а пры усіх праект. пераутв-ях . Простая адносіна 3 п. у праект геаметрыі не вывучаецца, таму што яна захоуваецца пры праект пераутв-х, а складаная адносіна – вывучаецца.

9. Ул-ці паралельных праекцый. Відарысы плоскіх фігур у //-най праекцыі

П ры цэнтральным праектаванні пр перах. у пр і захоўв. склад. адносіна 4-х пунктаў. Але не зах. // пр і простая адносіна 3-х пунктаў. Гэта робіць выкананне малюнка даволі складаным. Каб пазбегнуць гэтага замест цэнтр. разгл. паралельнае праектаванне.

У гэтым выпадку цэнтр праекцыі – бясконца адлеглы пункт, а праектавальныя прамыя паралельныя адна адной. Парал. праектаванне - прыватны выпадак цэнтр. праектавання. Пры гэтым зах. паралельнасць прамых і простая адносіна 3-х пунктаў(т.як мае месца тэарэма Фалеса). У школе карыст. менавіта // праект-ем. П: F П П(М)=SM П=M₀

П - цэнтральнае праектаванне; SM – праектавальная прамая; F₀ – праекцыя F; F – арыгінал; П – плоскасць праекцый.

Відарыс фігуры – гэта яе праекцыя з дакладнасцю да падобнасці. (Не блытаць відарыс з праекцыяй!!!) Т.ч. праекцыя з’яўл. прыватным выпадкам відарыса.

П ры парал. праектаванні і ўсе праект. прамыя паралельны. Прамая перах. у прамую, т.як 2 плоскасці перасяк. па прамой. Пры парал. праект. парал-я прамыя перах. у парал. прамыя, т.як 2 парал. плоскасці перас. трэцяй па парал-м прамых.

Тэарэма. Калі пры парал. праект. вядомы відарысы 3-х пунктаў агульнага становішча плоскасці , то можна пабудаваць відарыс адвольнага пункта плоскасці .

1. Трохвугольнік: Відарысам дадзенага м.б. адвольны .

Доказ: Няхай АВС- дадзены трохвуг-к; А₀В₀С₀ - адвольны трох-к; А=А₀, В=В₀, П= А₀В₀С₀ ; СС₀ - праектав. прамая.

2. Адвольны 4-вугольнік: Відарысам дадзенага 4-в м.б. адвольны 4-в. Выкарыстоуваем простую адносіну 3-х пунктаў