5. Група афінных пераутварэнняу пл-ці і некаторыя яе падгрупы

П аставім у адпаведнасць кожн. п. пл-ці M(x,y) п. M '(x,y). Атрымдіваем пераутвар. дадзенай пл-ці. – афіннае пераутв., якое задаецца рэперамі (1), (2).

.

Легка бачыць, што кожн. аф. пераутв. узаемаадназначна. У гэтым выпадку мае адвар. пераутв. , якое зададз. рэперамі і .

Праверым, што пры гэтым пераводзиць роуныя вектары у роуныя – .

у (1) у (1)

у (2) у (2). Адсюль вынікае, што роун. вектары пераходзяць у роуныя вектары, і наша азначэнне карэктна.

Т.Ч. аф. пер. дзейніч. не толькі на пункты, але і на вектары пл-ці.

Т : Няхай А, В, С и А’,В’,С’ – дзве тройкі пунктау пл-ці агульнага становішча. Існуе роуна адно афін. пераутвар. , такое, што

Т : (без д-зу): Аф. пер. кожны рэпер пераутв. у рэпер і задаецца парай такіх рэперау.

Т: Мн-ва усіх аф. пер. пл-ці утварае групу пераутв. пл-ці.

Д-з: . Н-й верна

, - аф. пер. : (1),(2)

Падзейнічаем на , : (2), (3)

. Від-на, што кампазіцыя - аф. пер,, зададз. (1) і (3).

Асн. факты аф. пер.:

1. Прамая пераходз у прамую - у (1) , у (2).

2. //-я пр. у //-я пр.

3. З ахоуваецца простая адносіна 3 п.(АВС)

,

Д-з:

4. Адрэзак у адрэзак

5. Сярэдз. адр. у сяр. адр.

6. ∆ у ∆ - кожн 2 ∆-ка афінна-кангруэнтны (Дзве фігуры будзем наз. афінна-кангурэнтнымі ф-мі, калі адна з іх пераводзіцца у другую некаторым аф. пераутварэннем).

7. Параллелаграм у параллелаграм - кожн 2 параллел-ма афінна-кангруэнтны

8. Крывая 2-га парадку у крывую 2-га парадку – эліпс у эліпс, гіпербала у гіпербалу, парабала – у парабалу

9. Аф.пер. не захоувае вуглы, адлегласці, S, але зах. адносіны пл-чау

- базис вектарау пр-ры, і - афінны рэпер у пр-ры, М адв. п пр-ры

М(а₁,а₂,а₃) – аф. каардынаты п.М у рэперы (1), яны вызн. станов. п. у пр-ры адназначна.

Формула пераутв. аф. каард.

- старая сіст. каард., - новая сіст. каард, М адв. п пр-ры. М(x₁,x₂,x₃) – старыя каард у (1), М(x₁’ ,x₂’ ,x₃ ‘) – новыя каард у (2). выразім старыя каард. п/з новыя:

- матрыца пераходу ад баз(1) да баз(2)

- лінейныя формулы

6. Узаeмнае размяшчэнне прамой I плоскасці ў трохмернай эўклідавай прасторы

Пусть в простр-ве зафиксирована некот. декартава прямоуг. с/к. Пусть также π₁ и π₂ 2 разл. плоскости, заданные общими ур-ями: А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 и А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0 и по прямой l. Т.к. пр l представлена как пересеч пл-тей π₁ и π₂ , то она опред сист 2 ур-ний: (1)

Очевидно, система (1) определяет пр в том случае, когда пл π₁ и π₂ не //-ны и не совпадают. Следовательно, система (1) определяет прямую в том, и только в том случае, когда коэфф А₁, В₁, С₁, одного из уравн сист одновременно не пропорциональны соотв-щим коэфф А_2, В_2, С₂ др.

Заметим, что ч/з кажд пр. проходит много разл пл-тей. Очевидно, что сущ-ет много возможностей выбрать из них какие-нибудь две. Иными словами, всякую прямую можно определить двумя уравнениями пучка α(А₁х+В₁у+С₁z+D₁)+β(А₂х+В₂у+С₂z+D₂)=0 (α и β - произвольно взятые не равные нулю числа) многими способами.

При реш задач более удобным явл специальный вид ур прямой в пространстве.

Определение. Любой ненулевой вектор пространства, перпендикулярный к прямой l, называется нормальным вектором прямой, а любой ненулевой вектор пространства, параллельный прямой l, – направляющим вектором прямой.

В ыведем ур. пр. l, проходящей ч/з данную т.M₁(x₁, y₁, z₁) и имеющей заданный направляющий вектор (l, m, n). Заметим, что произвольная точка M(x,y,z) лежит на прямой l тогда и только тогда, когда векторы и (a₁,a₂,a₃) коллинеарны, (векторы, леж-ие на параллельных прямых (ілі на одной і той же прямой)) т.е при выполнении условия (2)

Пусть прямая задана в пространстве своими каноническими уравнениями (2). Обозначим буквой t каждое из отношений (2), которые участвуют в канонических уравнениях =t (3)

Заметим, областью изменения параметра t является вся вещественная ось: -∞<t<+∞.

Проведя преобразования х-х₁=a₁t, у-у₁ =a₂t, z-z₁ =a₃t, окончательно получим: (4) – параметрические уравнения прямой.

Можно кратко записать так:

В пространстве возм 3 случая взаимного расположения прямой и плоскости:

1. прямая принадлежит плоскости - ;

2. прямая и плоскость пересек в точке - ;

3. прямая и плоскость не пересекаются;

Рассмотрим эти случаи:

Пусть пр. задана след. ур-ями , пл-ть общим ур-ем

Найдем общие точки L и П:

1. , то 2 случая

1) , 0=0, – прямая принадлежит пл-ти

Если , то направляющий вектор (а₁, а₂, а₃) пр. l ортогонален нормальному вектору (А,В,С) плоскости П.

2) - нет решения, т.е. прямая и плоскость не пересекаются

2.

- единств. решение, т. е. в одной т., (т.е. Аа₁+Ва₂+Са₃ ≠ 0 (5))

Обратно, если выполняется условие (5), то прямая l не параллельна плоскости π, а значит, пересекает ее под определенным утлом.

Частным случаем пересечения прямой и плоскости является их перпендикулярность. Прямая будет перпендикулярна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий вектор прямой коллинеарен нормальному вектору плоскости .

Т. обр., – условие перпендикулярности прямой и плоскости

Утверждение: прямая параллельна плоскости -

Если пр , то вып-ся только условие Аа₁ + Ва₂ + Са₃ = 0 (6), и обратно, если вып-ся усл (6), то направляющий вектор пр. ортогонален нормальному вектору пл-ти П прямая параллельна плоскости.

Аа₁ + Ва₂ + Са₃ = 0 – условие параллельности прямой и плоскости.