Класіфікацыя рухаў плоскасці

Сцв. 1: Кожны рух плоскасці есць кампазіцыя паралельнага пераноса і руха з нерухомым пунктам = ₁◦ ₂, ₁-∥-ны перанос, _{2 –} рух з нерухомым пунктам.

Сцв. 2: Кожны рух пл-ці з нерухомым пунктам есць або паварот пл-ці вакол гэтага пункта, або восевая сіметрыя адносна прамой, якая праходзіць праз гэты пункт.

Сцв. 3: Кампазіцыя паралельнага пераноса і нетрывіяльнага павароту есць паварот. Калі ₂ – паварот, то ₁◦ ₂ – паварот.

Сцв. 4: Кампазіцыя паралельнага пераноса і восевай сіметрыі есць або восевая сіметрыя або слізгаючая сіметрыя. Калі ₂ - восев. сім., то ₁◦ ₂ – або восев. сім. або слізгаючая.( слізгаючая сіметрыя-здабытак нетрывіяльнага паралельнага пераноса і восевай сіметрыі адносна прамой паралельнай напрамку пераноса)

Тэарэма Шаля: Кожны рух плоскасці есць або паралельны перанос, або паварот, або восевая сіметрыя, або слізгаючая сіметрыя

Выкарыстанне. Задача: Пабудаваць правільны трохвугольнік, адна вяршыня якога знаходзіцца ў дадз. пункце А, другая на дадзенай прамой l , трэцяя на дадзенай акружнасці Ф. (паварот вакол п. А на 60˚ акр. супраць гадз. стрэлкі, калі прамую, то па гадз. стрэлкі ).

Група рухаў плоскасці і яе падгрупа

Азн: групай наз. пара (G;0), якая склад. з мн-ва G і бінарнай алгебраічнай аперацыі і здавальняе умовам:

1. ассацыят-ці (a◦ b)◦ c=a◦ (b◦ c);

2. нейтрал. элемент e , такі што "a G выкон.роўнасць: a◦e=e◦a=a.

3. "a G існуе сіметр. элемент а' такі, што а◦а'=а'◦а= e.

Дадзенае мн-ва R і аперацыя складання утвар. групу.

Тэарэма 1: Мноства ўсіх пераутв-яў пл-ці ўтварае групу.

Няхай мн-ва (N – падмн. мн-ва G). Калі мн-ва N з’яўл. таксама групай адносна кампаз. пераутвар. пл-ці, то N наз.падгр. групы G.

Тэарэма 2: Мн-ва N з зададзенай аперац. кампазіцыі пераутварэння з’яўл. падгрупай групы (G;0), калі: 1. "а, b N, b◦ а N; 2. "a N а^-1 N

Падгрупы групы рухаў: група ∥ -ных пераносаў, група паваротаў вакол дадзенага пункта. Мноства восевых сіметрый пл-ці падгрупы не ўтвараюць.

4. Група пераўтварэнняў падобнасці плоскасці і некат яе падгруппы

Азн. Пер-не пл-ці наз пераўтварэнне падобнасці, калі ўсе адлегласці паміж пунктамі змяняюцца ў к разоў. к -канстанта>0 (каэфицыент падобнасци).

Азн. Пераўтварэнне плоскасці называецца пераўтварэнне падобнасці, кали яно з’яуляецца аффинным пераутв. и усе адлегл. памиж пунктами змяняе у к-разоу.

Пр-д: 1. Кожны рух ёсць пер-не пад-ці з каэф=1 и наадварот. 2.Гаматэтыя – пер-не пад-ці

Азн. Гамат-й наз.кожн рух – пер-не пад-сці з к =1.Інакш: пер-не пл-ці, якое перав кожны п М у такі п Мˈ, што вектар ˈ= . Камп-я гам-и і руха есць такс пер-не пад-сці.

Сцв.: Кожная гаматэтыя з каэф. – есць падобнасць з каафіц. к=│ │ хˈ= х

уˈ= у – формулы афіннага пер-ня .

Сутнасць метада гаматэтыі – для дадзенай або шукаемай фігуры існуе цэнтр гаматэтыі, які зададзены або м. знайсці. Выкон. гаматэт. пераутвар., атрым новыя эл-ты, - звязаныя з шукаемай або ладзенай фігурай, якія і дазв-ць выконваць неабход.пабудавані.

Гамат. з цэнтрам О і каэф. k наз. такое пераутв., якое п. А ставіць у адпавед. п. А', што

1. ОА'=│ k│ОА;2.п. О, А, А' належ адной прамой; 3.калі k >0, п. А' ляжыць на прамені ОА, а калі k <0, то А' ляжыць на прамені, які дапаўняе ОА.

Уласцівасці:

1) Пры гаматэтыи прамая перах у прамую (т.я. гаматэтыя з’яуляецца падобнасцю, а кожная падобнасць – афиннае пераутварэнне, то гаматэтыя – афиннае пераутварэнне).

2) Кожн прамая, як прах праз цэнтр гам-и, перах сама у сябе.(гэта вын з азн. Гам-и).

3) Кожная прамая пераходзиць у паралельную ей прамую.

Д оказ: Няхай гэта не так и прамыя не нарал-ныя, тады яны перас-ца па пункту.

Няхай

4) Гаматэтыя адназначна вызначаецца сваим цэнтрам и парай пунктау. F: О, А, А’.

Задача: зададзена гамат. Н₀(А)=А'. Пабуд. вобраз пункта В.

а) пункт В ОА б) пункт В ОА

Сцв 1. Калі - пер-не пад-ці з каэф. к, то - пре-не пад-ци з каэф. 1/к. Замечание: Т.к. - аф.пер-не, то - аф.пер-не

Сцв 2. Калі - пер-не пад-ци з каэф. к1 і к2, то кампазицыя - таксама пер-не пад-ці з к=к1*к2

Т1. Мн-ва ўсіх аф. пер-няў утварае группу пер-няў пл-ці. Д-з: вынікае з сцв1, сцв2