2. Вектарны здабытак вектараў ў трохмернай эўклідавай прасторы

Азнач. Вектарная прастора V разам са скалярным здабыткам на ёй наз. Еуклидавай вектарнай прасторай. Е=V+скал. здаб.

Азначэнне: Скалярным здабыткам ненулявых вектараў і наз. лік, які роўны здабытку даўжынь гэтых вектараў, памножан. на cos вугла паміж вектарамі. =│ │*│ │cos(а^в) (1)

Няхай ₁, _{2, 3} базіс вектараў прасторы.

Вектар _1, можна павярнуць вакол пункта О у плоскасці α так, каб яго напрамак пераўтварыўся у напрамак вектара ₂. Для такога паварота дзве магчымасці. Базіс ₁, _{2, 3} наз-ца правым, калі такі паварот з канца вектара ₃ выглядае паваротам супраць гадзіннікавай стрэлкі. Усе іншыя базісы называюцца левыми. Кали у базисе змяниць месцами два вектара, то правы зробицца левым, а левы – правым.]

Прыклады еуклидавай вектарнай прасторы:

1. - геаметрычныя вектары плоскасци

2. - геаметрычныя вектары прасторы

3. - геам. вект. прасторы старон даужыни n

А зн. Вектарным здабыткам геаметрычных вектараў у прасторы і называецца вектар , які задавальняе наступным умовам: 1. ⊥ , ⊥ . 2. │ │=│ │*│ │*sinα. 3. , , - утвараюць правы базіс, калі і - не калінеарны (вугал або ноль , або 180˚) (і sinα=0 │ │=0 => = =>

. Калі калінеарны, то гэта )

Усе гэта верна для кожнага правага ортаунармаванага базіса.

(Базис наз. ортаунармаваным, кали скалярны здабытак вект. )

Уласцівасці вектарнага здабытку вектараў:

1. [ х ]= <=> ∥ . Доказ: Калі прынамсі адзін з вектароў і нулявы, то ∥ і гэта ўласцівасць выконваецца. Мае месца і адваротнае: няхай <> , <> , тады [ х ]= <=> │[ х ]│= <=> ∥ .

2. х =- х .

3. ( )х = ( х ); х ( )= ( х ).

4. ( ₁+ ₂) х = ₁х + ₂х ; х ( ₁+ ₂)= х ₁+ х _2.

Вывад формулы вектарнага здабытку вектараў, зададзеных каардынатамі. Выведзем вылічэнне форм. вект. здаб. вектароў і зададзеных сваімі раскладаннямі ў ортаўнармаваным базісе ₁, _{2, 3.}

Тэатэма: Няхай у правым ортаўнармаваным базісе ₁, _{2, 3} : (а₁,а_2, а₃), (b₁,b₂, b₃), тады х =

Доказ: х =(а_{1 1}+а_{2 2}+а_{3 3}) х (в_{1 1}+в_{2 2}+в_{3 3})= а₁ в_{2 1* 2}+ а₁ в_{3 1* 3}+ а₂ в_{1 2* 1}+ а₂ в_{3 2* 3}+ а₃ в_{1 3* 1}+ а₃ в_{2 3* 2}= а₁ в_{2 3}- а₁ в_{3 2}- а₂ в_{1 3}+ а₂ в_{3 1}+ а₃ в_{1 2}- а₃в_{2 1}= ₁( а₂ в₃- а₃ в₂)-( а₁ в₃- а₃ в₁) ₂+( а₁ в₂- а₂ в₁) ₃= .

Геаметрычны сэнс даужыни вектарнага здабытку

| х |=S_ABCD, кали вектары некалиниярны (не ляжаць у адной плоскасци). ABCD – параллелограмм.

Доказ:

(эти сведения нужны для практического применения вект. пр.)

Практычнае выкарыстанне вектарнага здабытку вектараў. Задача. Знайсці Sтрох-ка АВС, калі А(x₁;y₁;z₁), B(x₂;y₂;z₂), C(x₃;y₃;z₃).

3. Група рухаў (перамяшчэнняў) плоскасці. Класіфікацыя рухаў

Азн: Рухам плоскасці наз. кожнае пераўтварэнне плоскасці, якое захоўвае адлегласці паміж пунктамі. Або: гэта афіннае пераўтварэнне плоскасці, якое захоўвае адлегласці паміж пунктамі.

У школе вывучалися паралельны перанос, восевая сіметрыя, паварот . Праверым,што кожны рух – гэта афіннае пераўтварэнне.

1. п аралельны перанос

Ψ-на (а₁,а₂)

Рыс. 1

2) восевая сіметрыя(выбираем с\к спец.вобразам,каб было лягчэй). Рыс 2

Рыс 2

восевая симетрыя – афиннае пераутварэнне.

3 ) паварот (выбираем сист. каард. спец. чынам..)

Рыс 3

Рух адназначна вызначаецца сваім дзеяннем на тры пункта агульнага становішча. Рухі захоўваюць не толькі адлегласці, але і вуглы.

Азн. Рухам плоскасци наз. афиннае пераутварэнне плоскасци, якое захоувае адлегласци памиж пунктами.