22. Степеневі ряди. Теореми Абеля.

Розглянемо степеневий ряд , де – деякі комплексні сталі, а фіксована точка комплексної площини. Легко бачити, що степеневий ряд є частинним випадком функціонального ряду аналітичних функцій, у якому .

Не обмежуючи загальності, надалі будемо вважати, що ( це легко одержати за допомогою переносу) і степеневий ряд, коли це не меє принципового значення, будемо записувати у вигляді .Перша теорема Абеля. Якщо ряд збігається в деякій точці , то він збігається і при тому абсолютно у всякій точці такій, що .

 Із збіжності ряду в точці випливає, що , починаючи з деякого номера повинна виконуватись нерівність . Отже ,

де, очевидно, . Тобто степеневий ряд мажорується числовим рядом – нескінченно спадною геометричною прогресією з знаменником .

З першої теореми Абеля випливає, що областю збіжності степеневого ряду є круг, з центром в початку координат. Цей круг може стягуватись в точку або вироджуватись у всю комплексну площину.

Друга теорема Абеля. Якщо степеневий ряд збігається в точці границі круга збіжності і сума ряду в цій точці , то при вздовж довільного шляху, якій лежить всередині кута з вершиною в точці розхилу не більшого від .

 Оскільки перетворення паралельного переносу, гомотетії та повороту на збіжність степеневого ряду не впливають, то не зменшуючи загальності міркувань, покладемо , , і уведемо функцію

,

де - частинні суми збіжного ряду. Отже існує номер такий, що при . Тоді . Очевидно, що перша сума обмежена як скінчена сума обмежених функцій: , а . Отже . При прямуванні до вздовж довільного шляху всередині кута розхилу не більшого від з вершиною в точці маємо, що обмежена величина, а в силу збіжності степеневого ряду в точці .

Отже .

23. Принцип максимуму Понтрягіна. Теорема про необхідну умову оптимальності (закріплені кінці, закріплений час, без доведення).

Розглянемо задачу оптимального керування з закріпленими кінцями і закріпленим часом

J(u(^.)) = (1)

за умов:

де u=u(^.)- вважають кусково-неперервними функціями на [t₀,T], і точки x₀, x₁ – задані, - не залежать від часу і фазові обмеження при t₀<t<T відсутні.

Значення керування u(^.) в точках розриву не впливають на розв’язок рівняння (2), і на значення інтегралу (1), а значить, і на задачу (1)-(4).

Тому в точках розриву керування можна довизначити довільно, аби не порушувалось обмеження (4).

Вважаємо u(t)=u(t+0)= при , u(T)=u(T-0). Вважаємо f^j(x, u, t), j= , мають частинні похідні: . Позначимо: ,

.

Вважаємо: - неперервні за сукупністю аргументів

(x, u, t) . Введемо допоміжні змінні ψ(t)=( ψ₁(t), . . ., ψ_n(t) ) і сталу ψ₀.

Визначимо функцію:

(5)

яка називається функцією Гамільтона-Понтрягіна.

Парі (u(t),x(t)), поставимо відповідно до системи диференціальних рівнянь відносно ψ(t)=( ψ₁(t), . . ., ψ_n(t) ):

(6)

де ψ₀ – стала.

Систему (6) називають спряженою системою, що відповідає парі (u(t),x(t, u, x₀,)), .

Теорема1 (Принцип максимуму – необхідна умова оптимальності. Закріплені кінці, закріплений час)

Нехай (u(t),x(t)), - розв’язок задачі (1)-(4). Тоді необхідно існує неперервна вектор-функція ψ(t), і стала ψ₀(t), такі що:

1) ;

2) ψ(^.) є розв’язком спряженої системи (6), яка відповідає розв’язку (u(^.),x(^.));

3) при кожному , функція H(x(t), u, t, ψ(t), ψ₀) змінної u = (u₁,….u_r) досягає своєї верхньої граніна множині V при u = u(t): .