19. Метричні простори. Приклади. Повні метричні простори. Принцип стискуючих відображень.

Метричним простором називається пара , що складається з простору , та невід‘ємної функції , , що задовольняє аксіомам:

1. .

2. .

3. .

- відстань або метрика.

Приклади : ; ; , .

Послідовність елементів , називається фундаментальною, або послідовністю Коші, якщо .

Послідовність елементів , збіжна, якщо : .

Тобто довільна збіжна послідовність буде фундаментальною.

Повний метричний простір – метричний простір, в якому довільна фундаментальна послідовність буде збіжною.

Відображення метричного простору , самого на себе, називається стисканням, якщо : , : .

називається нерухомою точкою відображення, якщо .

Теорема Банаха-Качаполлі (принцип стискаючих відображень).

Будь-яке стискаюче відображення, визначене в повному метричному просторі , має одну і тільки одну нерухому точку.

20. Комплексна площина. Сфера Рімана.

Розглянемо декартову систему координат . На осі будемо відкладати дійсну частину комплексного числа, а на осі – уявну. Осі та назвемо відповідно дійсною та уявною осями. Побудовану таким чином площину будемо називати комплексною площиною. Вона встановлює взаємно однозначну відповідність між точками цієї площини і комплексними числами, за винятком нескінченно віддаленої точки.

Точки цієї площини позначимо як , де і координати точки, яка відповідає комплексному числу і зветься афіксом комплексного числа .Розглянемо вектор, який починається в початку координат і закінчується в афіксі комплексного числа. Співставимо цей вектор з комплексним числом . Довжина одержаного вектора, називається модулем комплексного числа .

Модуль комплексного числа визначається однозначно.

Кут, який утворений цим вектором і додатним напрямком дійсної осі , виміряний в напрямку проти руху годинникової стрілки, назвемо аргументом комплексного числа

,

Аргумент комплексного числа визначається через головне значення аргументу ( з точністю до періоду

. Комплексні числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх модулі, а аргументи рівні або відрізняються на величину кратну .Легко бачити, що множення довільного комплексного числа на комплексне число приводить до повороту афікса цього числа на прямий кут. Дійсно .Поворот на інший цілком певний кут може бути реалізовано множенням комплексного числа на цілком певне комплексне число.

Означення 3. Числова площина називається комплексною площиною, якщо для її точок введено поняття модуля, аргументу та арифметичні дії за вказаними вище правилами. Точки комплексної площини називаються комплексними числами.

Сфера Рімана

При дослідженні функцій комплексної змінної значення змінюється не тільки у скінченій частині площини, але і може прямувати до невласної для нескінченно віддаленої точки. Таку точку будемо називати нескінченно віддаленою точкою і позначати символом . Комплексну площину, доповнену точкою назвемо розширеною комплексною площиною і позначимо .

Розглянемо комплексну площину з координатами і просторову прямокутну систему з координатами в просторі . Сумістим початки координат обох систем, а комплексну площину з площиною . В цій системі побудуємо сферу радіуса з центром в точці .Нехай довільна точка площини , –точка з координатами – полюс сфери. Очевидно, що пряма перетне сферу в єдиній точці . і навпаки, – кожній точці сфери буде відповідати єдина точка комплексної площини. Цим встановлюється взаємно однозначна відповідність між точками скінченої частини комплексної лощини і точками сфери, крім точки . Для того щоб точці відповідала єдина точка площини приймемо гіпотезу, що в комплексній площині існує єдина нескінченно віддалена точка з різними можливими напрямками руху до неї. Таке проектування точок сфери на комплексну площину і навпаки має назву стереографічної проекції, а сфера називається сферою Рімана.

Комплексна площина разом з приєднаною до неї єдиною нескінченно віддаленою точкою називається розширеною комплексною площиною.

21. Процес ортогоналізації Гільберта-Шмідта. Ортогональні системи. Нерівність Беселя та рівність Парсеваля.

Теорема Гільберта-Шмідта

Якщо А – цілком неперервний і власний оператор, тоді:

Доведення

1. коли кількість власних елементів обмежена:

де - базис

,

2. коли кількість власних елементів зліченна :

,

,

Наслідок 1

Якщо А – самоспряжений, цілком неперервний і власний оператор , має (обратный) тоді система , є ортонормованим базисом простору

Наслідок 1

Для будь-якого А – самоспряжений, цілком неперервний і власний оператор з гільбертового простору ( ), існує ортонормований базис простору , елементами якого є власні елементи оператору А.

Нерівність Беселя

Нехай   — гільбертів простір, і   — ортонормована послідовність елементів  . Тоді для довільного   виконується нерівність:

де <∙,∙> позначає скалярний добуток у просторі  . Нерівність Бесселя випливає з наступної рівності:

що виконується для довільного  .

Рівність Персеваля

Нехай дано сепарабельний гільбертів простір  , де   — скалярний добуток, визначений на множині  . Тоді якщо   — ортонормований базис в  , то рівність Парсеваля виконується для всіх 

Також, якщо   і   і   то:

Рівність Парсеваля узагальнюється і на випадок несепарабельних гільбертових просторів: якщо   (для деякої множини індексів B), є повною ортонормованою системою гільбертового простору X, то для будь-якого елементу   справедлива рівність Парсеваля: