13. Метод теорії потенціалу.

Визначення основних теплових потенціалів.

Теорема про граничні значення теплового потенціалу подвійного шару.

Теорема. Нехай S замкнена поверхня Ляпунова, неперервна на щільність. Тоді тепловий потенціал подвійного шару має на поверхні S неперервні граничні значення при підході до будь-якої точки зсередини та ззовні, і ці граничні значення мають вигляд:

Теорема про граничні значення нормальної похідної теплового потенціалу простого шару.

Теорема. Нехай S замкнена поверхня Ляпунова, неперервна на щільність. Тоді при підході до поверхні S вздовж нормалі для будь-якого фіксованого значення часу t₀ потенціал простого шару має неперервні граничні значення нормальної похідної при підході зсередини та ззовні, і ці граничні значення обчислюються за формулами:

14. Проблеми моделювання динамічних систем з розподіленими параметрами.

СРП-система, функція стану y(x,t) в просторово-часовій обласвті

задовольняє рівнянню: - диференціальна модель. (1),

де , – задані матричні оператори,

- зовнішнє динамі збурення на систему.

Початково крайові умови :

, ; (2)

, . (3)

Інколи моделюються спостереження

, (4)

Знаходження y(x,t) є прямою задачею, обернені задачі – задачі керування та спостереження за системою.

Інтегральна модель. Виражає залежність від в явній формі :

,де відома матрична ф-ція Гріна. (5)

Цю модель можна записати у вигляді:

(6)

(7)

де і - фіктивні зовнішні динамічні збурення, яких не існує, що діють за межами розглядуваної якими моделюється ефект впливу на систему поч.-кр. умов.

Проблеми переходу від (1)-(3) до (6)-(7):

1) Необх. побуд. функцію ;

2) Знайти моделюючі функції та .

Проблеми моделювання: іноді модель не повна ( не узгоджено розмірність і порядок); не адекватний опис динаміки системи. Інакше : потрібно часто розв‘язувати задачі типу , де -параметр.

15. Інтегральні лишки. Лема Жордана.

Інтегральним лишком аналітичної функції в околі ізольованої особливої точки однозначного характеру називається коефіцієнт у розвиненні функції в околі цієї точки в ряд Лорана. Позначають інтегральний лишок так. , де - довільний гладкий замкнутий контур, що містить всередині себе точку а і малий настільки, що аналітична скрізь всередині нього і на ньому.

Лема ЖорданаЯкщо на послідовності концентричних півкіл функція рівномірно відносно аргумента Z прямує до нуля при , то для довільного має місце

Покладемо , . Оцінимо величину на контурі Виберемо таким,щоб . Врахуємо також те, що при . Тоді

при осуільки , а величина обмежена

Зауваження 1. Лема вірна і у випадку якщо

Для доведення достатно довести що на ділянках II та III інтеграл прямує до нуля.

Зауваження 2. Якщо за вхяти то при вимогах накладених на лемож Жордана, в , вірна рівність

Зауваження 3. Нехай

задовольняє умовам леми Жордана в маємо

16. Загальне поняття інтегрованої функції. Поняття про інтеграл Лебега.

Послідовність простих інтегрованих функцій називається вимірною у середньому , якщо виконується .

Нехай маємо простір зі скінченною мірою. Визначена на ньому, вимірна функція називається інтегрованою, якщо існує фундаментальна в середньому послідовність простих інтегрованих функцій , що збігається за мірою до , при . Інтеграл Лебега - .

Властивості інтеграла ( - прості вимірні функції ) :

• лінійність ( ) ;

• невід‘ємність ( ;

;

• монотонність ( );

• оцінка модуля інтеграла ( );

• абсолютна неперервність ( -абс. непер ф-ія відносно , );

• зліченна адитивність ( , , ).