7. Банахові простори. Лінійні оператори та лінійні функціонали у банахових просторах.

Простір називається лінійним (або векторним), якщо в ньому однозначно визначені операції множення на скаляр і додавання, що мають властивості : , , , , , .

Банаховий простір – повний лінійний нормований простір. Властивості:

1) .

2)

3)

Відображення , називається лінійним оператором, якщо і . Якщо відображення неперервне, то називається неперервним оператором.

Нормою лінійного неперервного оператора називається число

Нехай - лінійні неперервні оператори.

Добутком операторів і називається оператор , , .

Спряженим до оператора , називається оператор : , , .

Функціонал – відображення (або ).

Функціонал називається лінійним, якщо він адитивний ( ) і однорідний ( ).

Функціонал називається обмеженим, якщо .

Норма функціонала - .

Функціонал називається неперервним, якщо з того, шо , в просторі .

Властивості лінійних функціоналів:

1. Адитивний функціонал неперервний в одній точці неперервний всюди.

2. Неперервний адитивний функціонал – однорідний.

3. Обмежений неперервний.

Поширення функціонала – лінійний функціонал , : .

Теорема Хана-Банаха про поширення лінійного функціоналу.

Нехай - лінійний нормований простір, . На визначено лінійний функціонал . Тоді можна поширити на зі збереженням норми, тобто .

Наслідок. - лінійний нормований простір. .

8. Інтегральні рівняння. Теореми Фредгольма.

Оператор А визначається як

– р-ня Фредгольма 1-го роду, – 2-го роду

де – шукана функція; – ядро інтегрального р-ня: ;

– вільний член інтегрального р-ня:

Перша теорема Фредгольма для інтегрального рівняння з виродженим ядром.

У випадку, коли для інтегрального рівняння Фредгольма другого роду з виродженим ядром і спряженого для нього існує єдиний розвязок в класі неперервних функцій для будь-яких вільних членів f(x) і g(x) із класу неперервних функцій.

Друга теорема Фредгольма для інтегрального рівняння з виродженим ядром.

Теорема. У випадку, коли , для однорідного рівняння Фредгольма і спряженого для нього існує однакова кількість лінійно незалежних розвязків, що дорівнює N-q, де q-ранг матриці , .

Третя теорема Фредгольма для інтегрального рівняння з виродженим ядром.

Теорема. У випадку, коли , для інтегрального рівняння Фредгольма другого роду з виродженим ядром для існування розвязку необхідно і достатньо, щоб вільний член був ортогональним до всіх розвязків спряженого однорідного рівняння .

Сам розвязок в цьому випадку не єдиний, і визначається з точністю до лінійної оболонки, натягнутої на систему власних функцій параметру (характеристичного числа) і цей розвязок визначається за формулою: ; .

Перша теорема Фредгольма для інтегрального рівняння з неперервним ядром.Якщо інтегральне рівняння Фредгольма з неперервним ядром

має єдиний розвязок для будь-якого вільного члена f із класу неперервних функцій, то і спряжене до нього

має єдиний розвязок для будь-якого вільного члена g із класу неперервних функцій.

Друга теорема Фредгольма для інтегрального рівняння з неперервним ядром.

Теорема Якщо інтегральне рівняння Фредгольма другого роду має розвязок не для будь-якого f, то однорідне рівняння і спряжене до нього однорідне рівняння мають однакову кількість лінійно незалежних розвязків.

Третя теорема Фредгольма для інтегрального рівняння з неперервним ядром.

Якщо рівняння має розвязок не для будь-якого вільного члена f з класу неперервних функцій, то для того, щоб розвязок рівняння існував при даному вільному члену f, необхідньо і достатньо, щоб вільний член був ортогональним до всіх розвязків спряженого однорідного рівняння.

Четверта теорема Фредгольма для інтегрального рівняння з неперервним ядром.

Теорема. Для будь-якого R>0 (const) в крузі може існувати лише скінченна кількість характеристичних чисел неперервного ядра K(x,y).