35. Наближені методи квантової теорії. Метод вбк

Для доведення розв’язок р-ня Шредінгера

іћ (∂Ψ(x,y,z))/ ∂t = -(ћ²/2m₀)( ∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²)+UΨ(x,y,z)=EΨ(x,y,z) (16,1)

будем шукати у вигляді ф-ції Ψ(x,y,z)= Ае⁽ⁱ^/ћ)^S (16.2) де S=S(x,y,z,t) є ф-цією дії, а А- деяка const.

Візьмемо похідні:

∂Ψ/∂t=i/ћ* ∂S/∂t* Ае⁽ⁱ^/ћ)^S (16.3)

∂Ψ/∂x= i/ћ* ∂S/∂x* Ае^(i/^ћ^)S ∂²Ψ/∂x²=(-1/ћ²*( ∂S/∂x)²+i/ћ*( ∂²S/∂x²))* Ае^(i/^ћ^)S (16.4)

Аналогічно до (16.3) отримуємо похідні для y i z. Підставивши (16,3) і (16,4) в р-ня (16,1), отримаємо

∂S/∂x+1/2m₀*(grad S)²+ U-iћ/2m₀*∆²S=0 (16.5)

Якщо в останньому доданку ћ=0 то (16,5) набуває вигляду ∂S/∂t+1/2m₀*(grad S)²+ U=0 (16,6)

Р-ня (16,6) еквівалентне р-ню Шредінгера, тому були спроби покласти в основу хвильової теорії саме це р-ня доданок, пропорційний ћ, як деяку квантову потенц. енергію U_кв.І цим доданком необ. доповнити р-ня Гамільтона – Якобі, але в загальному випадку р-ня (16,5) розв. значно складніше, ніж лінійне р-ня Шредінгера і тому чисельні способи повести розвиток квантової теорії по шляху знаходження точного розв. (16,5) успіху не мали. Але Верцелю, Брилюену і Крамерсу вдалося знайти набл. розв. даного р-ня і обмежуючи членами які містять ћ, знайти найбільш повний розв’язок. Цей метод виявився придатним для дослідження деяких задач КМ. Цей метод застосовний лише до задач одновимірного руху і отримав назву наближеного методу ВКБ. Для встановлення сутності даного методу розгл. одновим. задачу і запишемо р-ня Шредінгера у вигляді: ћ²Ψ”+2m(E-U)Ψ=0 (16.7)

Розв. даного р-ня будемо шукати у вигляді ф-ції Ψ= Ае⁽ⁱ^/ћ)^*^S^(x) (16.8)

Підставивши (16,8) в (16,7)

iћS”-S’+2m*(E-U)=0 (16.9)

Це р-ня є точним. Розклавши ф-цію S(x) у ряд і обмежившись двома членами отримаємо

2m*(E-U)- S₀’²+ћ(iS₀”-2S₀’S₁’)=0 (16.10)

Рівність (16,10) має місце коли будуть окремо =0 члени, які не містять ћ і члени, які містять ћ, тобто отримаємо: 2m*(E-U) - S₀’²=0 (16,11) iS₀”=2S₀’S₁’=0 (16,12)

Знайдем розв. першого р-ня : S₀’=√(2m*(E-U))= Р S₀=±∫Pdx (16.13)

36. Рух у центрально симетричному полі. Радіальне рівняння Шредінгера.

Хвильове рівняння Шредінгера дає точні розвязки для одновимірних систем,задача ускладнюється,якщо система має багато степенів вільності,однак задача спрощується,якщо система володіє симетрією,прикладом такої задачі може бути рух частинки у центрально симетричному полі,коли U=U(r).Завдяки симетрії можна провести розділення змінних у сферичних координатах і тоді рівняння Шредінгера зводиться до звичайних диференціальних рівнянь,які можуть бути про інтегровані.

Прикладом руху частинок у полі центральних сил є рух електрона у полі ядра атома.згідно з моделлю Резерфорда електрон рухається навколо ядра,причому потенціальна енергія U=-k* де к-коефіцієнт,який залежить від системи одиниць і системи сі.Задача про електрон розвязується повністю,залишається тільки непоясненими тонка структура енергетичного спектру,в подальшому вона пояснюється з урахуванням теорії відносності та спіну,У багато електронних атомах задача складніша,оскільки в цьому випадку,необхідно враховувати як поле ядра,так і поле,створюване електронами.дана задача розв’язується за допомогою наближень.Розглянемо відповідний математичний апарат,оскільки частинка у центральному полі володіє 3-ма ступенями вільності,то для визначення її стану необхідно знати 3 власні значення з-х взаємо комутуючих і незалежних один від одного операторів.ними є оператор повноі енергії H,оператор квадрату моменту кількості руху М ,оператор проекції моменту кількості руху М .Таким чином повинна задовольняти 3-м рівнянням