31. Основне рівняння квантової теорії. Рівняння Шредінгера. Оператор Гамільтона.

Нехай деяка ф-я описуєансамбль частинок в момент часу . Ця ф-я дозволяє знайти ймовірність результатів вимірювань різних механічних величин в момент часу . Отже, хвильова ф-я характеризує стан системи для часу .

Допустимо, що необхідно провести вимірювання тих же величин в момент часу . Впродовж цього часу система зміниться і буде характеризуватися ф-ю , задача полягає: знайти зв'язок між ф-ми та . Оскільки, хвильова ф-я характеризує чистий ансамбль, то вона повинна визначати його в будь-який подальший момент часу. Цю вимогу виражає принцип причинності і математично це значить, що з хвильової ф-ї необхідно отримати ф-ю . Розглянемо хвильову ф-ю в деякий момент часу , тоді хвильову ф-ю можна представити:

повинна визначатися через , тому

Тобто є деяка операція яку необхідно виконати над , щоб отримати . Оскільки, момент часу вибраний довільний і сам час-довільний, то співвідношення (1.1) можна записати:

Необхідно знайти оператор , який не може бути виведений із існуючих положень квантової механіки, а значить він повинен постулюватися. Цей оператор повинен бути лінійним не містити похідних та інтегралів за часом, а отже, час повинен входити як параметр. Для вибору оператора , розглянемо вільний рух частинки, яка має певний імпульс , такий рух буде описуватися хвильовою ф-ю де Бройля , що дорівнює:

де Е – повна енергія і визначається:

Безпосередня підстановка показує, що ця ф-я (1.2) повинна задовольняти рівняння:

де - це є оператор повної енергії, таким чином ми робим висновок, що оператор:

Вираз (1.3) перепишемо як:

Носить назву нестаціонарного (загального) рівняння Шредінгера. Це рівняння є хвильовим, запропонованим Шредінгером в 1926 р. і є однією з основ квантової теорії. В розгорнутому вигляді (1.4) запишемо:

якщо частинка є вільна, якщо ж вона рухається в зовнішньому силовому полі з потенціалом рівняння (1.5) буде мати вигляд:

Ліва чвстина рівняння (1.6) містить уявне число і це є важливою особливістю рівняння Шредінгера. У класичній фізиці рівняння першого порядку за часом не мають періодичних розв’язків, а значить описують необоротні процеси (дифузія, теплопровідність та ін.). Рівняння Шредінгера є рівнянням першого порядку за часом, але завдяки наявності і може описувати періодичні процеси.

32. Застосування рівняння Шредингера до найпростіших задач.Одновимірний рух.Потенціальний ящик. Стаціонарне рівняння Шредингера

Згідно з класичним визначення стаціонарними стали для яких повна енергія є визначеною і залишається незмінноююТаке визначення можна застосувати і до Квантових систем.

Знайдемо стаціонарне р-ня Шредингера.Для цього запишемо нестаціонарне рівняння

(1)

Хвильову ф-цію підставимо як добуток хвильової ф-ції

І підставимо її у р-ня (1)

Розділимо змінні:

(2)

Умова (2) означає, що можна ввести деяку постійну розділу Е і ліва і права частина (2) будуть дорівнювати цій величині, тобто

Нестаціонарне рівняння Шредингера для ф-ції f(t)

(3)

Стаціонарне рівняння Шредингера

H=

В розгорнутому вигляді це рівняння записується

(4)- стац. Р-ня Шредингера

В (4) Е- власна ф-ція оператора повної енергії і має зміст повної енергії си-ми.

Рух частинки в одновимірному потенціальному ящику

Розглянемо рух частинки в обмеженій області 0 для області . U=0, 0 той вид потенціалу носить назву потенціального ящика

Необхідно знайти власні значення та власні ф-ції частинки у такому потенціалі, для цього скористаємось р-ня Шредингера враховуючи,що U=0

або (5)

(6)

(7)

Це є диф. Р-ня другого порядку, а тому його розвязки є хвильова ф-ція, що дорівнює

(8)

Перший доданок (8) описує вільний рух у напрямі осі Х , а другий у протилежному. А і В нормуючі множники квадрати модулів яких визначають ймовірність виявити частинку у відповідних станах.Скористаємось умовою скінченності

Що дає можливість визначити співвідношення іж коефіцієнтами А і В, тобто А=-В, а значить

Або скориставшись формулами Ейлера:

(9)

Де с- деякий коефіцієнт, а - початкова фаза. Для визначення цих величин скористаємося умовами скінченності ф-ції

Звідки отримаємо,що

Звідки kl=(n+1) , (n=0, 1, 2…..)

Де n- Квантове число .Отже . Таким чином хвильова ф- ція (9) набуває вигляду (10)

Для визначення коеф. С –скористаємось умовою нормування, тобто

Таким чином хвильова ф-ція (10) має вигляд

(11)

Для визначення енергії частинки скористаємось виразом (11) Звідки енергія (12)

Звідки робимо висновок. Що енергія частинки у потенціальному ящику є величиною кантовою і найнищому стані n=0

Це значить, що найнижчий енергетичний стан не є станом спокою, такий специфічний результат є наслідком співвідношення невизначеності Гейзенберга. Дійсно стану спокою відповідало б нульове значення енергії і імпульсу, а отже і нульове значення невизначеності Pх, що несумісне з кінцевим значенням невизначеності координати х=l

Як буде себе поводити хвильова ф-ція при переході до макроскопічного світу для цього у фор-лу (12) підставимо значення m=1 Е=10 Дж. L=1 см n=10 Це значить, що число вузлів буде дуже велики.