30. Зміна векторів стану з часом.

Важливим є питання про часові зміни фізичних величин у мікросвіті. Рівняння Шредінгера дозволяє встановить прості правила, які допомагають підготувати зміну середнього значення тієї чи іншої механічної величини за малий проміжок часу,тобто знайти: L

Фізичний зміст такої похідної можна встановити із таких міркувань.Розглянемо мікросистему,яка в поч..стан t описується хвильовою функцією і проведемо вимірювання деякої величини L для різних моментів часу , нехай такими величинами будуть: L’,L”,L’”….Середнє значення даної величини: (1)

Наступне вимірювання проведемо в межах часу ,отже для цього ми отримали:

(2)

Знайдемо вираз для пох.(2).Для цього скористаємось рівнянням (1) і продифер.його:

(3)

Розглянемо другий доданок правої частини:

Cкористаємось нестаціонарним рівнянням Шредінгера записавши такі вирази:

, , (4)

Отже,р-ння (3)з урахуванням попередніх вирвзів перепишеться:

(5)

Перетворимо 3-й доданок р-ння (5)скориставшись умовою самоспряженості операторів.Для цього введемо позначення , а тоді

(6)

Таким чином р-ння (5) з урахуванням (6)набуває вигляду:

(7). Введемо позначення (8).-дане співвідношення назив.Квантовими дужками Пуасона.

Отже,(7)з урахуванням (8)перепишемо: (9).Другий доданок співвід.(9)є середнім значенням дужки Пуасона,а тому: (10).

Тобто похідна за часом від середнього значення L є середнє від деякої величини, яка зображається оператором , а тому відповідно до (10)можна записати:

(11).Таким чином для визначення характеру зміни фізичної величини за часом необхідно використовувати оператор Гамільтона , і оператор фіз. величини , скористатися співвідношенням (11).Якщо фізична величина L явно від часу не залежить, то , і (11)набуває вигляду: (12).Отримані результати дозволяють написати квантові р-ння руху таким чином, щоб до них входили похідні за часом від динамічних змінних.Розглянемо координату і імпульс.Вважатимемо, що вони явно від часу не залежать,а тому похідні цих величин виражатимуться через оператори самих величин і Гамільтоніан .

- оператори похідних декартових координат, тобто оператори проекції на осікоординат ,а через - проекції імпульсу підставляючи замість оператора L у р-ння (12) відповідні оператори отримаємо: (13).

(14).

(13),(14) операторні р-ння аналогічні класичним р-нням Гамільтона і тому носить назву Квантових р-нь Гамільтона .

У класичній фізиці р-ння (13) встановлює зв’язок між швідкістю і імпульсом, а (14)виражає закон зміни імпульсу з часом.Такий же зміст мають і квантові р-ння (13),(14.)

У фізиці важливим є клас фізичних величин, які носять назву інтегралів руху, тобто фізичних величин, які зберігаються з часом, тобто вони виражають закон збереження.Для таких величин дужка пуасона =0.Тобто якщо оператор фізичної величини комутує з гамільтоніаном, тот ця фізична величина є інтегралом руху, зокрема якщо явно від часу не залежить (консервативна система), а оператор завжди комутує сам з собою, то його середнє значення, тобто енергія зберігається. Існування інтегралів руху відображає певну симетрію системи. Причиною , того що оператор не залежить явно від часу є однорідність часу ,завдяки їй властивості замкнутої системи не змінюються при зсувах на деяку величину , оскільки всі моменти часу для неї є еквівалентними, однаковими, наслідком цього є закон збереження енергії.Закон збереження імпульсу випливає з однорідності простору.Дійсно, однорідність простору означає, що при переміщення системи, як цілої на будь-який довільний вектор не повинен змінюватися.