28. Динамічні змінні в квантовій теорії. Оператори і їх властивості.

У класичній механіці для описання руху частинок використовуються різні величини (r, E, p), які отримали назви динамічних змінних.

У кожний момент часу вони мають певні значення і задача полягає у визначенні динамічних змінних у часі.

Які динамічні змінні повинні описувати мікрооб’єкти?

Встановлено, що мікрооб’єкти не підлягають законам класичної механіки, але разом з тим необхідно було зберегти позначення класичної механіки.

Це вдалося досягнути завдяки тому, що класичним динамічним змінним були спів вставлені відповідні лінійні оператори.

Під лінійним оператором розуміють дію або рецепт, які переводять деяку функцію u в іншу функцію v тих же змінних, а в загальному випадку, і інших змінних.

Символічно оператор позначають , і математично переведення функцій записується (11.6).

Оператор діє лише на ту функцію, яка стоїть справа першою (після оператора).

Оператор називається лінійним, якщо виконується умова

(11.7).

Добутком операторів називається такий оператор, який діючи на функцію u переводить її у функцію v, яку дістають також послідовним застосуванням операторів співмножників, якщо є добутком двох операторів * , тоді

.

Оскільки фізичні величини не можуть бути одночасно виміряні, то для відповідних операторів виконується умова, що

* ≠ * (12.1).

Це так звана умова не комутативності операторів і у згорнутому вигляді 12.1 записується:

[ * ]≠0 (12.2).

Бувають випадки, коли динамічні змінні можуть бути одночасно виміряні і тоді 12.2 набуває вигляду:

[ * ]=0 (12.3).

29. Елементи теорії представлень. Координатне та імпульсне представлення векторів станів і спостережених.

Стосовно кожної квантової системи всі вимірні прилади можуть бути розбиті на групи. Так наприклад, якщо прилад сортує частинки системи за координатами центра ваги (x,y,t), то він не може проводити сортування за проеціями , , . Уявимо, що є необхідність провести сортування частинок не за координатами, а за їх іпульсами. Тоді необхідно взяти прилад, що аналізує систему за імпульсами, а не за коорди-натами, але разом з тим хвильова функція взята як функція координат. Чи можна описати систему так, щоб хвильова функція була функцією імпульсу Р? У першому випадку стан віднесемо до приладу, що аналізує систему за координатами, а в другому – за імпульсом. Або говорять: стан задано в «х»- представленні, або стан задано в «Р»- представленні, або координатне та імпульсне представлення. Знайдемо Р- представлення.

Нехай задано хвильову функцію Ψ(x, t). Тоді:

Ψ(x, t)= * (x)dp (13.1)

C(x, t)= * (x)dx (13.2)

Якщо відомі амплітуди C(р,t), то то можна знайти Ψ(x, t), тому С(x, t) можна розгляд-дати як хвильову функцію, аргументом якої є імпульс Р. Ця функція фізично описує той самий стан, що і функція Ψ(x, t). Тому вираз (13.1) можна розглядати як перетворення ф-ції від Р-представлення до х-представлення, а представлення (13.2) – як перетворення від х до р.

Візьмемо за незалежну змінну енергію Е, причому вважатимемо, що вона набуватиме дискретних значень Е1, Е2,…,Еп. Відповідні власні функції для цих станів буде Ψ1(x), Ψ2(x),… Ψп(x). Тому хвильову функцію:

Ψ(x, t)= (t)* Ψn(x) (13.3)

Cn(t)= * (x) (13.4)

Cn(t) визначає в (13.3) Ψ(x, t), і навпаки, задання всіх Ψ(x, t) в (13.4) визначає Сп(t), але в Р-представленні.

Отже, (13.3) можна розглядати як перетворення хвильової ф-ції від Е представлення до х представлення, а (13.4) – формула зворотного представлення.

Оскільки, відомі хвильові ф-ції, то можна знайти вирази для визначення імовірностей у відповідних представленнях. Так,

W(x,t)dx= dx

Ймовірність W(x,t)dp= dp

W( )=

Крім хвильових функцій необхідно ще знати спосіб представлення операторів у відповідних змінних. Якщо оператор Ĺ розглядати як функцію координат, то

Ĺ(-іh ;х)

В цьому випадку оператор Ĺ, що діє на функцію переводить її в деяку нову ф-цію φ(х), і математично це записується

φ(x)= (-ih ;х) (13.5)

Отже, даний вираз можна розглядати як дію оператора в х представленні. Знайдемо тепер оператор Ĺ в енергетичному представленні, приймаючи дискретний спектр значень енергії Еп. Відповідні ф-ції можуть бути записані.

= Ψn(x) (13.6)

φ(х) = Ψп(х) (13.7)

Оператор Ĺ переводить у φ(х), а відповідно і Сп у .

Знайдемо тепер оператор, який би безпосередньо виражав від Сп. Але значить, що необхідно знайти оператор в Е-представленні. Для цього (13.6) і (13.7)­ підставимо у вираз (13.5)

Ψп(х)= Ĺ Ψп(х) (13.8)

Домножимо (13.8) на , і проінтегруємо по всіх значеннях х. Скориставшись умовою ортогональності, отримаємо

= Cn, де (13.9)

= Ĺ Ψпdx (13.10)

Знаючи всі , вираз (13.9) дозволяє знайти всі амплітуди за заданим Сп. Таким чином, співпадаючи (13.9) і виражає оператор в Е-представленні.