26. Поняття станів у квантовій теорії. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга.

У класичній фізиці з положенням будь-якого об’єкта визначається за допомогою координат і імпульсу. Знання цих величин дозволяє визначити положення мікрооб’єкта у будь-який момент часу та визначити величини, що його характеризують (імпульс, енергія, момент імпульсу).

При переході до мікросвіту величини х і р не можуть бути визначені точно, а тому вводяться невизначеності , . Між цими величинами існує співвідношення, а саме

(1),

тобто добуток невизначеностей не може бути меншим за постійну Планка h, яка визначає найменшу дію. Таке співвідношення встановив Гейзенберг і воно є фундаментальним співвідношенням сучасної фізики. Для інших складових (1) записується

( )

( )

Співвідношення (1) показує, що координати і імпульс не можуть бути визначені одночасно з достатньою ступіню точності. Дійсно, якщо . Такий чисто математичний висновок призвів до так званого агностицизму (непізнаність). Отже, мова йде про те, що інформацію про мікрооб’єкти не можна отримати точно, а тому мікросвіт пізнати не можна. Але співвідношення (1) має іншу трактовку: це є міра за застосовності класичних понять до мікрооб’єктів.

Співвідношення (1) можна записати і для таких величин як енергія та час, а саме

(2)

- невизначеність в енергії, яка виникає в результаті процесу вимірювання, а - проміжок часу, впродовж якого дане вимірювання відбувається.

Співвідношення (1) і (2) і є якраз критеріями оцінки достовірності (правильності) нових гіпотез, нових теорій.

27. Вектори і совектори станів. Простір Гільберта.

Задача квантової теорії – це передбачення можливих результатів вимірювання з урахуванням імовірності , з якою отримується кожен результат.

Самі вимірювання можна розглядати як деякі операції над фізичними системами, тому і математика яка описує ці операції на мікроскопічному рівні, повинна бути математика операторів. Згідно з принципом суперпозиції стан квантової механічної системи повинен описувати такими математичними величинами, які можна +,-,*, на комплексні числа, а це значить, що стани квантової системи слід спів ставляти з векторами деякого лінійного простору, який був названий Гільбертові.

Гільбертів простір називається простором станів квантової системи.

Усі стани такого простору описується ненульовим вектором ׀ψ комплексного Гільбертового простору.

Будь-які два вектори описують той самий стан, якщо вони різняться тільки комплексним скалярним множником.

Нульовий вектор, що позначається 0, не описує жодного стану.

Залежно від того, які вибрані динамічні зміні, стан можна описувати в координатному, імпульсному або енергетичному представлені. Скористаємось позначенням, які введено Дірі ком, а саме

З урахуванням введених позначень співвідношення набувають наступного вигляду

Прийнята символіка дозволяє записувати вирази у звичайному вигляді так

Основні положення квантової механіки можуть бути вкладені такими постулатами

Постулат 1

Стан квантової механічної системи описується векторами ׀ ψ абстрактного Гільбертового простору.

Постулат 2

Кожній динамічній зміній А відповідає оператор , що діє в Гільбертовому просторі векторів – станів.

Постулат 3

Єдиним можливим результатом вимірювань є власні функції оператора, які зіставляються із величиною.

Постулат 4

Імовірність отримання величини для даної фізичної величини при її вимірювані у стані визначається

Постулат 5

Координати і відповідні імпульси кванто-механічної системи описують відповідними операторами між якими справедливе співвідношення, а саме