23. Квантова теорія. Гіпотези Планка, Ейнштейна, постулати Бора.

Рівняння Максвелла дозволяє завершити побудову класичної електродинаміки, яка дозволяє пояснити фізичні явища, спостережувані на той час. Але в кінці ХІХ ст. ряд явищ не можна було пояснити на основі класичних підходів. Поведінку частинок мікросвіту (електрони, атоми, молекули) описують квантовими механічними законами, які суттєво відрізняються від класичних. Так енергія електрона в атомі може змінюватися лише дискретно, тобто вона неможе набувати довільних значень. Для мікрочастинок незастосовне поняття траєкторії руху. Досліди показують, що за певних умов мікрочастинки проявляють властивості, які характерні хвильовим процесам.

У квантовій механіці стан частинки задається хвильовою функцією , яка залежить від координат, а час виступає як параметер. Величина визначає ймовірність того, що частинка перебуває в елементарному об’ємі в даний момент часу.

Вираз носить назву умови нормування.

Математичною основою квантової механіки є теорія лінійних операторів. Оператор – це рецепт або дія, який дозволяє перевести одну функцію в іншу тих же змінних, або і інших змінних.

Розглянемо фізичні явища, які призвели до зародження квантової теорії:

1)Теплове випромінювання – це випромінювання електромагнітних хвиль нагрітими тілами, які характеризуються випромінювальною та поглинальою здатністю.

Було встановлено, що відношення випромінювальної здатності до поглинальної не залежить від природи речовини, а є лише функцією довжини хвилі та температури, тобто (1)

Якщо тіло поглинає все падаюче на нього випромінювання, то поглинальна здатність буде дорівнювати одиниці і співвідношення (1) набуде вигляду: (2).

Співвідношення (1) і (2) носять назву закона Кірхгофа. Він є загальним і не дозволяє отримати відповідні аналітичні залежності. Випромінювальна здатність для кожного тіла залежить як від температури так і від довжини хвилі і графічно її можна зобразити наступним чином.

. З графіка видно, що випромінювальна здатність характеризується мах. який із збільшенням температури переміщується у бік менших довжин хвиль. Площа під кожною кривою виражає інтегральну випромінювану енергію. Аналітичний вираз такої залежності невдавалось отримати вздовж тривалого часу. Вдалось отримати лише часткові закони, зокрема: закон Стефана – Больцмана згідно з яким енергетична світність пропорційна , тобто (3), де ─ це стала величина. Інтегральна енергія (3) визначається площею, яка охоплюється кривою. Якщо тіло не є абсолютно чорним необхідно ввести деякий коефіцієнт , який характеризує “сірість” тіла і тоді (3) має вигляд: (4).

Коли відома спектральна густина випромінювання, тобто енергія, яка випромінюється в частотному інтервалі енергетична світність (3) може бути визначена як (5). Експеримент показав, що криві випромінювання мають різкий мах, який зміщується в сторону менших довжин хвиль і таку залежність можна описати як (6). Тобто довжина хвилі на яку припадає максимум випромінювання обернено пропорційна температурі. Співвідношення (6) носить назву закону зміщення Віна. Але часткові закони (3) і (6) не давали змогу отримати вираз для випромінювальної здатності ) в рамках класичної фізики. Зокрема була зроблена спроба Ролейєм і Джінсом отримати вираз ) базуючись на основних законах класичної електродинаміки:

1)енергія випромінюється неперервно;

2) на кожну ступінь вільності припадає енергія рівна kT.

Отже, розглядаючи випромінювання як неперервне середовище в якому поширюються стоячі хвилі Ролей і Джінс дійшли висновку що випромінювальна здатність дорівнює:

(7) або (8).

Приймаючи до уваги, що і скориставшись співвідношенням (7) отримаємо (9). Отримаємо результат який суперечить експерименту. Дійсно з (9) випливає, що тіло може прийти у врівноважений стан з оточуючим середовищем лише при температурі Т=0. В дійсності ж будь-яке тіло може прийти в рівноважений стан з оточуючим середовищем за будь-якої температури. Співвідношення (7) носить назву закону Ролейя – Джінса.

Дане співвідношення справджується лише в області великих довжин хвиль. Оскільки максимум випромінювання тобто більша частина енергії припадає на короткохвильову частину спектра, то висновки формули Ролейя – Джінса (9) отримали назву ультрафіолетової катастрофи.

Таким чином на кінець ХІХ ст. існувало дві формули, які описували експеримент з теплового випромінювання в обмеженій ділянці спектра, але ні одна з них не описувала всю експериментальну криву. Стало зрозумілим, що класична електродинаміка не взмозі справитися з теорією теплового випромінювання, а отже необхідним був перегляд її основних положень. І це у 1900 р. зробив Планк, який висунув гіпотезу, яка не випливала із статистичної фізики і класичної електродинаміки. Гіпотеза Планка стосується того, що електромагнітне випромінювання може відбуватися у вигляді окремих порцій енергії. Величина випромінювання енергії (10), де ― стала Планка і є однією з фундаментальних величин сучасної фізики.

Постійна Планка визначає найменший можливий квант дії. Скориставшись гіпотезою про дискретність випромінювання можна отримати формулу, яка описує експериментальну криву випромінювання абсолютно чорного тіла в усьому розглядуваному інтервалі частот. Ця формула має вигляд: (11). Це і є формула Планка, яка добре узгоджується з експериментальними результатами і яка вирішила проблему аналітичного описання теплового випромінювання. Формула (11)дозволяє отримати часткові закони Стефана – Больца, закон зменшення Віна, формула Ролейя – Джінса.

2) Фотоефект. Він э результатом взаємодії фотонів світла з електронами речовини. Розрізняють зовнішній фотоефект коли фотони спричиняють вилітання електронів за межі тіл; внутрішній фотоефект, який супроводжується перерозподілом електронів по станах енергетичної зони. Існує також ядерний фотоефект, який супроводжується виділенням складових ядра під дією жорсткого ― випромінювання. Явище фотоефекту було відкрите Герцем і досліджене Столєтовим. Уже в перших дослідженнях із зарядженими металевими частинками було виявлено, що іскровий заряд виникає при менших значеннях прикладеної напруги, якщо негативну пластинку опромінювати ультрафіолетовим світлом.

Збільшення напруги між катодом та анодом призводило спочатку до зростання струму, який в подальшому залишався постійним, хоча напругу збільшували. Виникав так званий струм насичення. Із рисунка видно, що фотострум може виникати і при нульовому значення напруги і для того, щоб його звести до 0 до електродів необхідно прикладати деяку гальмівну напругу . Вивільнені електрони набувають деякої швидкості, а значить відповідної кінетичної енергії ; , де e та m – заряд і маса електрона.

Дослідження Столєтова дали можливість встановити наступні закономірності:

1)кількість електронів, вивільнених світлом за 1 с. прямопропорційна світловому потоку, що падає на досліджуване тіло.

2)швидкість вилітаючих електронів тим більша, чим більша частота падаючого світла і не залежить від його інтенсивності. Незалежно від інтенсивності світла фотострум для даної речовини виникає тільки за певної мінімальної частоти падаючого світла, яку назвали червоною межею фотоефекта. Червона межа фотоефекту характеризується роботою виходу електрона з металу і позначається А.

3)Явище фотоефекту є безінерційним, тобто з припиненням дії освітленості поверхні металу фотострум відразу припиняється.

Явище фотоефекту здавалося можна було б пояснити на основі законів класичної електродинаміки. Дійсно, світловий потік характеризується енергією, яка в резельтаті взаємодії електроном речовини повинна передаватися електронами. Якщо енергія падаючої світлової хвилі достатня для подолання зв’язків електрона з атомами, то фотоефект виникне. Якщо ж такої енергії недостатньо, то електрон може накопичувати падаючу енергію доти, доки небуде подолана енергія зв’язку електрона з атомами, але в даному випадку повинен існувати між початком випромінювання та появою фотоструму, тобто фотоефект повинен характеризуватися інерційністю, що суперечить досліду. Крім того, з погляду хвильової теорії не можна було пояснити незалежність швидкості вилітаючих фотоелектронів від інтенсивності світла, оскільки коли на тіло падає ЕМХ вона повинна приводити у коливання електрони, амплітуда яких пропорційна амплітуді світлової хвилі. В свою чергу амплітуда світлової хвилі визначається інтенсивністю світла, тому енергія коливань електронів повинна залежати від інтенсивності світла. Насправді такої залежності не спостерігається. Вихід із такого становища був знайдений Ейнштейном скориставшись гіпотезою Планка про дискретність випромінювання. Ейнштейн зробив припущення, що світло поглинається такими ж самими порціями, якими і випромінюється з енергією . Потоки таких світлових випромінювань Ейнштейн назвав фотонами.

Отже, за Ейнштейном світловий потік визначається кількістю фотонів, які падають на поверхню тіла за одиницю часу. Теорія Ейнштейна дозволяє пояснити закономірності фотоефекту. Безінерційність підтверджує, що електрони сприймають світлову енергію окремими порціями і якщо енергія такої порції достатня для подолання зв’язків електронів атомів фотоефект відбудеться.

Чим більший світловий потік, тим більше фотонів у ньому, а отже і більша кількість вивільнених електронів. Отже, енергія фотона витрачається на роботу виходу електрона з металу А та надання їм кінетичної енергії, тобто: (12) ―рівняння Ейнштейна для фотоефекту.

З (12) випливає, що чим більша частота падаючого світла, тим швидкість вилітаючих електронів буде більшою,причому швидкість не залежить від інтенсивності світла, томущо ні А ні h не залежать від неї. Цей висновок добре узгоджується з результатами дослідів. З рівняння (12) можна зробити висновок: якщо , то тоді енергія падаючого випромінювання або світлового потоку буде дорівнювати лише роботі виходу електрона з металу, тобто для кожного тіла існує своя червона межа фотоефекту.

У другій половині XIX ст. з’явилися експериментальні факти, які підтверджують складну структуру атома. Висувалися певні гіпотези, але лише досліди Розерфорда із розсіювання - частинок, дозволили йому у 1911 р. запропонувати планетарну модель атома, згідно з якою електрони рухаються навколо ядра по орбітах, як планети навколо Сонця. Згідно класичної електродинаміки заряджена електрочастинка, яка рухається з прискоренням , де а – прискорення, з яким рухається частинка. Оскільки рух по колу є прискоренням, то атом за будь-яких умов повинен випромінювати енергію, що призведе до зменшення енергії атома і його руйнування. Зменшення радіусу колової орбіти електрона супроводжуватиметься збільшенням його кутової частоти обертання, а значить спектр випромінювання атома повинен бути суцільним. Досліди підтверджують протилежне – стійкість атомів та дискретність спектрів. Отже, модель атома Розерфорда входила в суперечність з експериментом. Вихід із такого становища був запропонований Бором, який використав гіпотезу Планка про квантування енергії і сформулював наступні постулати:

І. Постулат стаціонарності станів – атомам і атомним системам властиві стани з відповідними значеннями енергії , перебуваючи в яких, вони не випромінюють і не поглинають енергії.

ІІ. Постулат частот – частоти спектральних ліній випромінювання атома визначається різницею енергій тих стаціонарних станів, між якими здійснюється перехід, тобто (13).

Ця частота всупереч вимогам класичної електродинаміки немає нічого спільного з частотами періодичних рухів електронів. Бор також показав, що радіуси стаціонарних робіт пропорційні , тобто момент кількості руху (14), де n = 1, 2, 3,… і носить назву головного квантового числа.

Співвідношення (14) – правило квантування орбіт. Скориставшись (14) можна показати, що енергію електрона на орбіті (15), тобто енергія електрона є дискретною, n = 1, 2, 3,… , а атом є величиною стійкою. Оскільки знак «-» в (15) вказує на те, що для того, щоб атом зруйнувати необхідно прикласти зовнішню енергію.

Постулати Бора, а отже і моделі Розерфорда були підтверджені експериментальними дослідами Франка і Герца. Для квантової теорії властивий принцип відповідальності, який вимагає, щоб її фізичні висновки у граничному випадку великих квантових чисел n збігалися з результатами класичної теорії. У принципі відповідності проявляється той факт, що квантові ефекти властиві лише для мікрооб’єктів, коли величина розмірності дії є співмірною із постійною Планка.