Пример:

4. Манипулирование данными в реляционной модели, операции реляционной алгебры.

Понятию схема отношения соответствует описание структуры двумерной таблицы (имена столбцов).

Совокупность схем отношений называется схемой реляционной базы данных (реляционной моделью данных).

Для манипулирования данными в реляционной модели используются два формальных аппарата:

• реляционная алгебра, основанная на теории множеств;

• реляционное исчисление, базирующееся на исчислении предикатов первого порядка.

Алгеброй называется множество объектов с заданной на нем совокупностью операций, замкнутых относительно этого множества, называемого основным множеством.

Р. алгебра - (высокоуровневый) процедурный язык, т.е. язык, который может быть использован для того, чтобы сообщить СУБД о том, как следует построить требуемое отношение на базе одного или нескольких существующих в бд отношений.

Р. исчисление - непроцедурный язык, который можно использовать для определения того, каким будет некоторое отношение, созданное на основе одного или нескольких других отношений бд.

Реляционная алгебра является языком последовательного использования отноше­ний, в котором все кортежи, возможно, взятые даже из разных отношений, обраба­тываются одной командой, без организации циклов.

Операции реляционной алгебры

Основным множеством в реляционной алгебре является множество отношений.

Реляционная алгебра: выборка (selection), проекция (projection), декартово, произведение (сartesian product), объединение (union), разность (set difference)

Дополнительные опе­рации: соединения (join), пересечения (intersection), деления (division).

Операции выборки и проекции являются унарными, поскольку они работают с одним отношением.

Другие операции работают с парами отношений, и поэтому их называют бинарными операциями.

В реляционном исчислении не существует никакого описания оценки запроса, поскольку в запросе реляционного исчисления указывается, что следует извлечь, а не как. Название «Реляционное исчисление» произошло от части символьной логики, которая называется исчислением предикатов.

В контексте бд оно существует в двух формах: в форме предложенного Коддом реляционного исчисления кортежей и в форме предложенного Лакруа и Пиро реляционного исчисления доменов.

В реляционном исчислении кортежей задача состоит в нахождении кортежей, для которых предикат является истинным. Это исчисление основано на переменных кортежа.

Переменными кортежа являются такие переменные, областью определения которых является указанное отношение — т.е. переменные, для которых допустимыми значениями могут быть только кортежи данного отношения. Использует 2 типа кванторов: существования ( ) – истинность хотя бы для одного экземпляра и общности ( ) – истинность для всех. Если в кортеже нет кванторов, то его переменные называются свободными, если есть – связанными.

В реляционном исчислении доменов используются переменные, значения которых берутся из доменов, а не из кортежей отношений. Если P(d_l,d₂,... ,d_n) обозначает предикат с переменными d₁,d₂,... ,d_n, то множество всех переменных домена d₁,d₂,... ,d_n, для которых предикат или формула P(d₁,d₂,... ,d_n) истинны, обозначается следующим выражением: {d₁,d₂,... ,d_n |P(d₁,d₂,... ,d_n)}

В реляционном исчислении доменов (понятию домена соответствует множество значений, стоящих в столбце рассматриваемой таблицы или значений атрибута) зачастую требуется проверить условие принадлежности, чтобы определить, принадлежат ли значения указанному отношению. Выражение R(x,y) считается истинным тогда и только тогда, когда в отношении R имеется кортеж со значениями х и у в двух его атрибутах.

Механизмы реляционной алгебры и реляционного исчисления эквивалентны, для любого допустимого выражения реляционной алгебры можно построить эквивалентную формулу реляционного исчисления и наоборот.

Запрос, представленный на языке реляционной алгебры, может быть реализован как последовательность элементарных алгебраических операций с учетом их старшинства и возможного наличия скобок.

Выражения реляционной алгебры и формулы реляционного исчисления определяются над отношениями реляционных БД и результатом вычисления также являются отношения.

В состав теоретико-множественных операций входят операции:

1. объединения отношений;

2. пересечения отношений;

3. взятия разности отношений;

4. взятия декартова произведения отношений.

Специальные реляционные операции включают:

1. выборку (ограничение отношения);

2. проекцию отношения;

3. соединение отношений;

4. деление отношений.

Кроме того, в состав алгебры включается операция присваивания, позволяющая сохранить в базе данных результаты вычисления алгебраических выражений, и операция переименования атрибутов, дающая возможность корректно сформировать заголовок (схему) результирующего отношения.

Объединением двух отношений называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих либо 1, либо 2 исходным отношениям, либо обоим отношениям одновременно. Для операции объединения требуется одинаковая арность отношений. Пусть заданы два отношения R₁ = { r₁ } , R₂ = { r₂}, где r₁ и r₂ - соответственно кортежи отношений R₁ и R₂, то объединение R₁ R₂ = { r | r R₁ r R₂}.

Здесь r — кортеж нового отношения, — операция логического сложения "ИЛИ".

Пересечением отношений называется отношение, которое содержит множество кортежей, принадлежащих одновременно и первому и второму отношениям. R₁ и R₂:

R₄ = R₁ R2 ={ r | r R1 r R₂ } здесь — операция логического умножения (логическое "И").

Разностью отношений R₁ и R₂ называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих R₁ и не принадлежащих R₂: R₅ =R₁ \R₂ ={r | r R1 r R₂}

Объединение и пересечение, являются коммутативными операциями - результат операции не зависит от порядка аргументов в операции.

Операция разности является принципиально несимметричной операцией - результат операции будет различным для разного порядка аргументов.

Расширенное декартово произведение. Эта операция не накладывает никаких дополнительных условий на схемы исходных отношений, поэтому операция расширенного декартова произведения, обозначаемая R₁ R₂, допустима для любых двух отношений.

Сцеплением, или конкатенацией кортежей c = <c₁, c₂, ..., c_n> и q = <q₁, q₂, ..., q_m> называется кортеж, полученный добавлением значений второго в конец первого. Сцепление кортежей c и q обозначается как (c , q).

(c, q) = <c₁, c2, ... , c_n, q₁, q₂, ..., q_m> Здесь n — число элементов в первом кортеже с, m — число элементов во втором кортеже q. Операция декартова произведения меняет степень результирующего отношения.

Расширенным декартовым произведением отношения R₁ степени n со схемой

S_R1 = (A₁, A₂, ... , A_n), и отношения R₂ степени m со схемой S_R2 = (B₁, B₂, ..., B_m),

называется отношение R₃ степени n+m со схемой S_R3 = (A₁, A₂, ... , A_n, B₁, B₂, ..., B_m),

содержащее кортежи, полученные сцеплением каждого кортежа r отношения R₁ с каждым кортежем q отношения R₂.

То есть если R₁ = { r }, R₂ = { q } то R₁ R₂ = {(r, q) | r R₁ q R₂}

Декартово произведение R S двух отношений (двух таблиц) определяет новое отношение - результат конкатенации (т.е. сцепления) каждого кортежа (каждой записи) из отношения R с каждым кортежем (каждой записью) из отношения S.

R S={(a, 1, 1, h), (a, 2, 1, h), (b, 1, 1, h), ... }

Если одно отношение имеет N записей и K полей, а другое M записей и L полей, то отношение с их декартовым произведением будет содержать NxM записей и K+L полей.

Исходные отношения могут содержать поля с одинаковыми именами, тогда имена полей будут содержать названия таблиц в виде префиксов для обеспечения уникальности имен полей в отношении, полученном как результат выполнения декартова произведения.