§ 2.6. Особые звенья сау

Наряду с обычными, рассмотренными ранее динамическими звеньями, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, в САУ встречаются звенья другого типа, которые описываются более сложными уравнениями. Это либо уравнения с запаздыванием, либо уравнения в частных производных, либо уравнения с иррациональными или трансцендентными выражениями. Такие звенья называются особыми. К особым звеньям иногда относят и обычные звенья с особенностями (неустойчивые, неминимально-фазовые).

Звено чистого запаздывания. К звеньям с запаздыванием относятся звенья, реакция которых появляется с некоторой задержкой по отношению к моменту возникновения входного воздействия.

В качестве простейшего примера объекта с запаздыванием рассмотрим транспортёр (рис. 2.31,а), используемый для перемещения сыпучих материалов на некоторое расстояние l.

Входным воздействием транспортёра является количество вещества, высыпающегося из бункера на транспортёр в единицу времени; выходной переменной является также количество вещества, но ссыпающегося с транспортёра в единицу времени.

Если при пустом работающем транспортёре заслонку бункера открыть в момент времени , то вещество на выходе транспортера появится, очевидно, лишь по истечении времени , где V – скорость движения ленты транспортера, а l – длина транспортера.

Величина называется временем запаздывания или просто запаздыванием.

В тех случаях, когда запаздывание обусловлено транспортировкой вещества на некоторое расстояние, его ещё называют транспортным запаздыванием или чистым запаздыванием. Уравнение звена с чистым запаздыванием имеет вид

или в изображениях по Лапласу

.

Отсюда следует передаточная функция звена чистого запаздывания

. (2.29)

Порядок звена с чистым запаздыванием (2.29) равен бесконечности, поэтому его уравнение в переменных состояния обычно не записывают. Запаздывание же включают в аргумент входного воздействия или выходной переменной инерционных звеньев, соединенных со звеном чистого запаздывания.

Например, обычное инерционное звено, как известно, описывается уравнениями

, .

Поэтому, если это звено в системе расположено перед или после звена с чистым запаздыванием, то уравнения этого соединения будут иметь вид

, . (2.30)

Такое соединение называется инерционным звеном с запаздыванием. Его передаточная функция

. (2.31)

Отметим, что порядок инерционного звена с запаздыванием, как и звена (2.29), равен бесконечности. Проявляется это, в частности, в том, что для определения выходной переменной звена (2.30), (2.31) необходимо задать значения этой переменной в бесконечном множестве точек – на интервале времени .

Запаздыванием обладают также трубопроводы, длинные линии электросвязи, протяженные объекты других типов.

Иррациональные звенья. Объекты или системы, распределённые в пространстве (такие как: нагревательные печи, ректификационные колонны, большие химические реакторы и т.д.), описываются уравнениями в частных производных. Однако анализ таких уравнений достаточно сложен, поэтому с приемлемой для практики точностью их стремятся заменить обыкновенными дифференциальными уравнениями. В результате применения преобразования Фурье к последним и последующей замены на p получаются передаточные функции указанных объектов, но с иррациональными выражениями. Обычно эти функции имеют вид

, , . (2.32)

Динамические звенья с передаточными функциями данного типа называются иррациональными звеньями. Отличительная особенность этих передаточных функций в том, что они не являются полиномами от р. Поэтому анализ систем с иррациональными звеньями требует применения специальных методов. Чаще всего для этих целей применяются частотные методы и рассмотренные выше частотные характеристики.

Неустойчивые звенья. Рассмотрим звено, описываемое дифференциальным уравнением

. (2.33)

Корень соответствующего ему характеристического уравнения равен , т.е. больше нуля. Поэтому свободная составляющая решения уравнения (2.33) описывается возрастающей экспонентой

. (2.34)

График ее изменения показан на рис. 2.32. Как видно, свободная составляющая выходной переменной y_св данного звена монотонно возрастает с ростом t, пока не достигнет насыщения. Из-за возрастания переменных такие звенья называются неустойчивыми.

Причиной возрастания (2.34) являются, в общем случае, корни характеристического уравнения, имеющие положительную вещественную часть (говорят, «правые» корни). Именно этот факт является основной особенностью неустойчивых звеньев.

Определение. Если хотя бы один из корней характеристического уравнения динамического звена имеет положительную вещественную часть, то такое звено называется неустойчивым. ■

Примером неустойчивого звена может служить асинхронный двигатель. Его механическая характеристика (зависимость вращающего момента М от угловой скорости ω) приведена на рис. 2.33.

При угловой скорости близкой к ω₂ и M = M_c2 характеристика M(ω) имеет положительную производную по скорости ω, что свидетельствует о неустойчивости данного режима работы асинхронного двигателя. При малейшем отклонении скорости вращения от величины ω₂ двигатель либо останавливается, либо его скорость начинает увеличиваться, а затем уменьшаться, пока не достигнет устойчивого значения, соответствующего какой-либо точке на верхней части графика M(ω).

Неминимально-фазовые звенья. Как отмечалось выше, если динамическое звено имеет передаточную функцию

, (2.35)

где , – некоторые полиномы с вещественными коэффициентами, то корни уравнения , т.е. числа называются нулями передаточной функции (2.35). Отметим, что корни уравнения , т.е. числа , , называются полюсами этой функции.

Определение. Если вещественные части всех нулей передаточной функции некоторого динамического звена (2.35) являются отрицательными, т.е.

, (2.36)

то соответствующее звено называется минимально-фазовым. Если же существует хотя бы один нуль с положительной вещественной частью (правый), т.е.

, , (2.37)

то соответствующее звено называется неминимально-фазовым. ■

Наличие правых нулей (с положительной вещественной частью) и является основной особенностью неминимально-фазовых звеньев. Отметим здесь, что корни или нули с отрицательными вещественными частями часто называются «левыми».

Если в передаточной функции заменить p на , то как известно, выражение является комплексным коэффициентом передачи соответствующего звена. Предположим звено с – минимально-фазовое, и его фазовая характеристика имеет вид, показанный на рис. 2.34.

Если некоторая передаточная функция отличается от только знаком вещественной части одного из нулей, то соответствующая фазовая характеристика будет аналогична по форме , но больше её по величине, как показано на рис. 2.34. Именно поэтому звенья с и называют неминимально-фазовыми.

Переходные функции h₁ – минимально-фазового и h₂ – неминимально-фазового звеньев показаны на рис. 2.35,а. На этом рисунке – это отрицательное перерегулирование. Отрицательное перерегулирование является ещё одной особенностью неминимально-фазовых звеньев.

Примером неминимально-фазового звена является паровой котёл. При увеличении отбора пара из него уровень воды в нём, вообще говоря, должен понижаться. На самом деле он сначала повышается, а затем уже понижается.

К неминимально-фазовым звеньям может относиться и мостовая RC-цепочка, показанная на рис. 2.35,б. Её передаточная функция имеет следующий вид:

,

причём величины и определяются выражениями

, .

Как видно, при мостовая RC-цепочка (рис. 2.35,б) является неминимально-фазовым звеном.

Подчеркнем, что если объект является неминимально-фазовым, то построить для него минимально-фазовую, устойчивую систему управления можно только в том случае, когда число управляющих воздействий у объекта больше числа управляемых переменных. Причем это условие является лишь необходимым условием возможности решения указанной задачи синтеза. Другими словами, скомпенсировать неминимально-фазовость объекта в системе управления можно лишь с помощью дополнительных (сверх числа управляемых переменных) управлений.