§ 2.5. Нули и полюсы передаточных функций

Так как передаточная функция динамического объекта или системы обычно является отношением двух полиномов, то её всегда можно представить следующим образом:

, (2.26)

где и – коэффициенты при и соответственно полиномов и , , , , , .

Комплексные (в общем случае) числа называются нулями передаточной функции, т. е. корни уравнения – это нули W(p) (2.26). Числа называются полюсами передаточной функции, т.е. корни уравнения – это полюсы W(p) (2.26).

Полюсы и нули передаточной функции (2.26) могут быть как вещественными, так и комплексными. Поэтому передаточную функцию произвольного вида всегда можно представить множителями с вещественными коэффициентами следующим образом:

. (2.27)

Здесь K – коэффициент передачи (коэффициент усиления, если К >1) рассматриваемого объекта или системы; , – коэффициенты демпфирования; Т_i, T_j, T_, T_k – постоянные времени; , , , – постоянные числа.

Множители вида соответствуют вещественным нулям или полюсам кратности , причем , где и – вещественные нули или полюсы.

Множители вида , где , соответствуют паре комплексных нулей или полюсов кратности q, а множитель соответствует тем нулям и полюсам данной передаточной функции, которые равны нулю, причем .

Представление передаточной функции в виде (2.27) применяется при исследовании различных свойств линейных динамических систем. В частности, оно позволяет достаточно быстро построить вручную логарифмические асимптотические частотные характеристики системы по заданной передаточной функции вида (2.26).

Переходя к изложению соответствующего алгоритма, рассмотрим сначала некоторые свойства логарифмических асимптотических характеристик. Например, множителям вида , находящимся в числителе (2.27), соответствуют логарифмические амплитудная и фазовая характеристики, показанные на рис. 2.26. Как видно, в интервале частот наклон асимптотической ЛАЧХ равен нулю, а в интервале частот он равен 20q дБ/дек. Фазовая характеристика положительна и изменяется от нуля до πq/2.

Если же этот множитель находится в знаменателе W(p) (2.27), то соответствующая ему логарифмическая амплитудно-частотная характеристика имеет тот же вид, но наклон в интервале частот равен дБ/дек, а фазовая характеристика находится в интервале .

Множителям вида , находящимся в числителе передаточной функции (2.27), соответствуют асимптотические характеристики, показанные на рис. 2.27.

Их вид аналогичен предыдущему случаю (рис. 2.26), но в интервале частот наклон амплитудной характеристики равен 40q дБ/дек, а фазовая характеристика изменяется от нуля до πq.

Если же этот множитель находится в знаменателе W(p) (2.27), то соответствующая ему логарифмическая амплитудная характеристика имеет вид, аналогичный предыдущему случаю, но в интервале частот наклон амплитудной характеристики равен –40q дБ/дек, а фазовая характеристика изменяется от нуля до – q.

Однако в случае множителя второго порядка необходимо иметь в виду следующее. Если , то можно ограничиться построением лишь асимптотических характеристик. Если же , то, как отмечалось выше, к асимптотической амплитудной характеристике в обязательном порядке необходимо добавлять поправки, увеличенные в q раз и взятые из специальных номограмм.

Аналогично множителю в знаменателе (2.27) соответствуют логарифмические амплитудные характеристики, показанные на рис. 2.28. Они также имеют наклон дБ/дек или дБ/дек в зависимости от знака числа ν, но во всем интервале частот от 0 до ∞. При этом на частоте ω = 1 эти характеристики всегда проходят через точку 20lgK.

Фазочастотные характеристики, соответствующие множителю в знаменателе (2.27), равны и являются постоянными во всем интервале частот от 0 до ∞.

Из изложенных свойств нулей и полюсов передаточных функций (2.26) вытекает следующий алгоритм построения соответствующих логарифмических асимптотических частотных характеристик (ЛАЧХ) вручную:

- представить заданную передаточную функцию в виде (2.27);

- найти 20 log K;

- найти частоты сопряжения , ;

- перенумеровать частоты и коэффициенты в порядке

возрастания численных значений , т.е. ;

- построить ось абсцисс в логарифмическом масштабе; из точки восстановить перпендикуляр и отложить на нём (это значение может быть и отрицательным). Через полученную точку провести характеристику, соответствующую множителю ;

- искомая ЛАЧХ будет совпадать с линией, полученной в предыдущем пункте, от начала оси абсцисс, вплоть до частоты . В точке наклон ЛАЧХ изменится на 20 дБ/дек, если соответствует множителю в числителе, и на –20 дБ/дек, если соответствует этому же звену, но оно находится в знаменателе (2.27). Если же частота соответствует множителю второго порядка, то наклон изменится на 40 дБ/дек, если этот множитель в числителе, и на – 40 дБ/дек, если он находится в знаменателе. Полученная характеристика продолжается до частоты , на которой наклон изменяется аналогично. Далее описанный процесс продолжается до последней частоты сопряжения в (2.27).

При необходимости в точках излома линейных участков могут быть внесены указанные выше поправки. Для построения фазовой характеристики строятся характеристики всех множителей (2.27), после чего производится их суммирование вдоль оси ординат.

Пример 2.7. Динамическое звено описывается передаточной функцией

. (2.28)

Построить логарифмические асимптотические частотные характеристики.

Решение. Находим дБ. В данном случае  = 2, частота ; частота , , , , .

Асимптотическая логарифмическая АЧХ, построенная по этим данным с помощью изложенного выше алгоритма, приведена на рис. 2.29.

Построение фазовой характеристики. Множителю p² в знаменателе передаточной функции (2.28) соответствует фазовая характеристика (рис. 2.30). Множителю , находящемуся в числителе W(p), соответствует фазовая характеристика , также показанная на рис. 2.30. Наконец множителю , находящемуся в знаменателе, соответствует фазовая характеристика .

Суммируя эти три характеристики вдоль оси ординат, получим фазочастотную характеристику заданного звена, показанную на рис. 2.30 жирной линией.

Итак, графики на рис. 2.29 и на рис. 2.30 представляют искомые частотные амплитудную и фазовую характеристики системы с передаточной функцией (2.28). ■

Отметим еще раз, что в настоящее время временные и частотные характеристики, в том числе и логарифмические, целесообразнее строить с помощью ЭЦВМ или ПЭВМ, используя специальные подпрограммы, пакеты и т.д. Покажем это на примере.

Пример 2.8. Построить годограф АФЧХ и ЛЧХ системы с передаточной функцией (2.28) с помощью ПЭВМ, используя программный пакет MATLAB.

Решение. Предварительно представим функцию (2.28) в виде отношения двух полиномов, а затем введём в командном окне MATLAB следующие команды:

sys = tf([10000 2000 100], [0.1 1 0 0]);

nyquist(sys)

В результате на экране монитора появится годограф АФЧХ заданной системы.

Для построения в среде MATLAB логарифмических частотных характеристик, после приведенной выше команды sys = tf(•) или после команды nyquist(sys) вводим команду:

bode (sys)

После этого на экране монитора появятся графики амплитудной и фазовой логарифмических характеристик этой же системы, близкие к приведенным на рис. 2.29 и на рис. 2.30. ■

Подчеркнём также, что изложенные выше свойства временных и частотных характеристик необходимы для проверки правильности полученных с помощью ЭВМ данных.