§ 3.1. Понятие управляемости динамических систем

Интуитивно под управляемостью систем понимается возможность изменения управляемых величин желаемым образом с помощью управляющих воздействий. Однако не все объекты допускают такую возможность. Рассмотрим простейший пример – электрический мостик, схема которого показана на рис. 3.1.

Предположим, управляющим воздействием является величина , т.е. , а регулируемой величиной – напряжение U_вых, т.е. y = U_вых. Если , то по закону Ома или y = Ku, причем K – некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от значений R₁, R₂ и R. В этом случае путем соответствующего изменения напряжения можно всегда обеспечить необходимые изменения напряжения U_вых. Следовательно, при R₁  R₂ данный объект является управляемым.

Если же R₁ = R₂, то U_вых = 0 при любом значении величины , поэтому в этом случае данный объект является неуправляемым.

Если объект управления или система имеют более сложное устройство (более сложную схему, структуру), то непосредственно проверить управляемость трудно. Поэтому в общем случае для этой цели применяют специальные критерии управляемости, которые позволяют проверить управляемость объекта или системы по их математическим моделям.

Понятие управляемости может быть определено различными способами. В дальнейшем будет рассматриваться наиболее распространенное определение и критерий управляемости, которые были предложены Р. Калманом. Допустим объект (или система) описываются уравнениями:

, (3.1)

. (3.2)

Здесь u – вектор управлений, y – вектор управляемых величин. Предполагается, что матрицы А, В, С и D известны.

Управляемость объекта (3.1), (3.2), по Калману, определяется следующим образом.

Определение. Объект управления, описываемый уравнениями (3.1), (3.2), называется вполне управляемым, если с помощью ограниченного управления u за конечное время его можно перевести из состояния x₁  0 в начало координат x₂ = 0.

В противном случае объект (3.1), (3.2) называется не вполне (не полностью) управляемым. ■

§ 3.2. Критерий управляемости

Для оценки управляемости объектов или систем, уравнения которых представлены в форме (3.1), (3.2), используется критерий Калмана, в основе которого лежит матрица управляемости

. (3.3)

Здесь n = dim x – порядок объекта или системы (3.1), (3.2). В общем случае матрица U является прямоугольной с размерами , где q = dim u – размерность вектора управлений u.

Критерий управляемости. Объект (3.1), (3.2) является полностью управляемым, если

, (3.4)

где n = dim x; rank – ранг матрицы. В противном случае объект является не полностью (не вполне) управляемым. ■

Если объект имеет одно управление, т. е. , то B = b, а – -матрица. При этом условие управляемости принимает вид

. (3.5)

В соответствии с критерием управляемости Калмана матрицы выходов С и D не влияют на свойство управляемости, поэтому часто говорят об управляемости пары А, В.

Пример 3.1. Оценить управляемость объекта

.

Решение. Здесь n = 2, следовательно, равенство (3.3) принимает вид . Подставляя численные значения, найдем

.

Поэтому матрица управляемости

.

В данном случае , следовательно, по условию (3.5) рассматриваемый объект является полностью управляемым. ■

Уравнения объекта в рассмотренном примере имеют каноническую управляемую форму (КУФ). В связи с этим отметим, что если уравнения объекта (системы) записаны в КУФ, то объект (система) являются вполне управляемыми, т. е. проверять их управляемость в этом случае не нужно.

Пример 3.2. Объект описывается уравнением

.

Оценить его управляемость.

Решение. Здесь n = 3, поэтому из равенства (3.3) находим . В нашем случае

, .

Следовательно, матрица управляемости

.

Ранг этой матрицы U равен двум, поэтому, в соответствии с критерием управляемости, этот объект не вполне управляемый, так как n = 3. ■

Доказательство критерия управляемости. Для доказательства критерия управляемости (3.4) найдём условия, при которых можно определить управление u, переводящее объект из произвольного состояния x₀  0 при t = 0 в состояние x(t₁) = 0 при t = t₁. Вектор состояния x(t) объекта (3.1), (3.2), как известно, определяется формулой Коши:

. (3.6)

Предположим, u(t) – это управление, которое переводит систему (3.1), (3.2) из состояния х₀ в состояние x(t₁) = 0 при . Тогда при из (3.6) получим

.

Умножая это выражение на exp(–At₁) слева, получим

или

.

Как известно, матрица exp(–At) может быть представлена в виде суммы

,

где – некоторые функции времени. Заменим здесь t на и подставим в предыдущее равенство. В результате получим

или, раскрывая сумму,

(3.7)

Обозначим

,

,

.

Тогда равенство (3.7) можно записать следующим образом:

. (3.8)

Если ввести вектор-столбец , то равенство (3.8) с учетом обозначения (3.3) примет вид

. (3.9)

Рассмотрим два случая. Пусть управление u скалярное, т.е. B = b, тогда в системе (3.9) – квадратная -матрица. Чтобы в этом случае найти искомое управление u, которое переводит состояние в состояние x(t₁) = 0 при , прежде всего, необходимо разрешить систему линейных алгебраических уравнений (3.9) относительно вектора . Как известно, эта система имеет решение только тогда, когда определитель ее матрицы равен n, что соответствует условию (3.5) критерия управляемости.

Если управление u векторное, то матрица системы (3.9) является прямоугольной, причем число её столбцов больше числа её строк. В этом случае система (3.9) будет иметь решение, если среди столбцов матрицы U найдется n линейно независимых, из которых можно составить квадратную матрицу, определитель которой не будет равен нулю. Это требование, очевидно, эквивалентно условию (3.4) критерия управляемости. ■

Таким образом, если уравнения динамической системы или объекта управления представлены в виде (3.1), (3.2), то их управляемость можно проверить с помощью критерия Калмана. Отметим, что уравнения системы в указанном виде должны быть найдены с учетом требования её полного и однозначного описания, вытекающего из законов природы, описывающих процессы в исследуемой системе.

Если же уравнения (3.1), (3.2) получены, например, из уравнений «вход-выход» или из передаточных функций, найденных путем эквивалентных преобразований структурной схемы системы, без соблюдения соответствующих условий (см. пример 2.9), то применение критерия управляемости не имеет смысла, так как эти уравнения могут не содержать информации о свойстве управляемости исследуемой системы.

Свойство управляемости, как будет показано ниже, играет определяющую роль при построении модального и оптимального управлений.