§ 3.7. Асимптотические оценки переменных. Наблюдатель состояния
Определение.
Асимптотической
оценкой
некоторой переменной
называется другая физическая величина
такая, что выполняются условия
а)
,
,
б)
.
■ (3.27)
Смысл этого определения поясняется рис. 3.5,а. Как видно, в начале работы системы значение оценки значительно отличается от значения переменной . Однако с течением времени значение оценки приближается к значениям переменной и в дальнейшем их значения практически совпадают.
Обычно
величину
называют ошибкой
оценивания,
а время
– временем
оценивания
(рис. 3.5,а).
Здесь
–
некоторая (малая)
величина.
Устройство, которое формирует асимптотические оценки переменных состояния, называется наблюдателем состояния или просто наблюдателем, а задача получения асим-
птотических оценок называется задачей оценивания.
Отметим,
что оценки переменных состояния
используются в системах управления для
замены в управлении
тех переменных
,
которые недоступны измерению.
Наблюдатель состояния. Если уравнения объекта имеют вид
, (3.28)
,
(3.29)
причём y и f – измеряемые величины, то уравнение наблюдателя полного порядка (наблюдателя Калмана) берётся в следующей форме:
,
(3.30)
где
l
– варьируемый вектор параметров
наблюдателя;
– вектор состояния наблюдателя.
Схема наблюдателя состояния (3.30) при f = 0 показана на рис. 3.5,б. Из выражения (3.30) следует, что для построения наблюдателя необходимо, чтобы возмущающие воздействия, приложенные к объекту (3.28), (3.29), были доступны измерению.
При этом для решения задачи оценивания его вектора состояния x = x(t) достаточно выбрать в уравнении наблюдателя (3.30) вектор l так, чтобы выполнялось условие
.
(3.31)
Найдем
условия выбора вектора l,
при котором выполняется условие (3.31). С
этой целью определим производную по
времени от ошибки оценивания
.
Дифференцируя по t
это равенство и учитывая уравнения
объекта (3.28), (3.29) и наблюдателя (3.30),
получим
,
(3.32)
где
.
(3.33)
С
учётом обозначения
условие (3.31) имеет вид