13.2.2. Распределение Пуассона

Определение 10. Пусть производится независимых испытаний, вероятность наступления случайного события в каждом испытании равна . Закон распределения дискретной случайной величины , которая может принимать любые целые неотрицательные значения (0, 1, 2, …, ), описываемый формулой , где , называется законом Пуассона.

Замечание. Для закона Пуассона , .

Упражнение. Доказать.

§ 14. Непрерывные случайные величины их числовые характеристики и законы распределения

14.1. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины

Пусть дана случайная величина .

Определение 1. Пусть для Х существует неотрицательная функция , удовлетворяющая для любых равенству . Тогда случайная величина Х называется непрерывной.

Замечание. Функция является законом распределения вероятностей непрерывной случайной величины и называется функцией плотности распределения вероятностей или дифференциальной функцией распределения вероятностей.

Определение 2. График функции называется кривой распределения.

Определение 3. Если – плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины, то функция распределения вероятности имеет вид: . В этом случае функцию называют интегральной функцией распределения вероятности.

Свойства интегральной функции распределения непрерывной случайной величины

Замечание. Кроме свойств функции распределения, указанных в п. 12.2, функция распределения непрерывной случайной величины обладает своими специфичными свойствами.

Свойство 1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определённое значение, равна нулю.

Доказательство: Так как для любых и из неравенства следует, что , то, полагая , имеем: .

Переходя к пределу при , в силу непрерывности получаем, что .

Следствие. Для непрерывных случайных величин справедливо для любых и .

Замечание. Не представляет интереса говорить о вероятности того, что случайная величина примет одно возможное значение. Имеет смысл рассматривать вероятность попадания случайной величины в определённый промежуток, возможно, сколь угодно малый. Тем не менее, неправильно думать, что говорит о том, что событие невозможно.

Свойство 2. Если возможные значения случайной величины принадлежат промежутку , то 1) при , 2) при .

Доказательство. В первом случае событие невозможно, во втором – достоверно.

Свойство 3. . В силу определений.

Свойства плотности вероятности

Свойство 1. . (По определению)

Свойство 2. (если все значения случайной величины заключены в интервале , то ).

Доказательство. Событие: Х попадет в интервал – достоверно.

Свойство 3. Вероятность , что значение, принятое случайной величиной , попадет в промежуток , определяется формулой для любых и .

Доказательство. .

Замечание. Формула остаётся справедливой для отрезка и интервала.

Геометрический смысл плотности вероятности. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ и кривой распределения.

Следствие. Если непрерывна в точке , то с точностью до бесконечно малых высших порядков .

Доказательство. .