24.2. Корреляционный момент системы случайных величин

Для описания системы двух случайных величин, кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих, пользуются и другими характеристиками, к числу которых относятся корреляционный момент (ковариация) и коэффициент корреляции.

Определение 3. Корреляционным моментом (ковариацией) случайных величин Х и У называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин: .

Замечание 4. Корреляционный момент называют также вторым смешанным центральным моментом случайных величин Х и У. Для него используются обозначения , , , , .

Замечание 5. Из определения 3 следует, что для вычисления корреляционного момента имеют место формулы:

для дискретных случайных величин;

для непрерывных случайных величин.

Свойства корреляционного момента

Свойство 1. .

Доказательство. .

Свойство 2. .

Доказательство. .

Свойство 3. Корреляционный момент двух независимых случайных величин Х и У равен нулю.

Доказательство. Так как Х и У независимые случайные величины, то их отклонения и также являются независимыми случайными величинами. Тогда, используя свойства математического ожидания, имеем право записать: .

Свойство 4. .

Доказательство. Используя свойства математического ожидания, имеем право записать:

Следствие. Для вычисления корреляционного момента дискретных и непрерывных случайных величин можно использовать соответственно формулы:

и .

Определение 4. Нормированной случайной величиной относительно случайной величины Х называется случайная величина .

Замечание 6. Для нормированной случайной величины , .

Доказательство. Действительно ,

.

Свойство 5. .

Доказательство. Рассмотрим случайные величины Х и У, соответствующие им нормированные случайные величины и , и случайные величины . Очевидно, что случайные величины принимают только неотрицательные значения, следовательно, для их математических ожиданий справедливо неравенство:

, или

, по свойствам:

,

,

, или, учитывая замечание 6, , или , или .

Замечание 7. Таким образом, корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами Х и У:

1) характеризует степень зависимости случайных величин Х и У;

2) характеризует разброс значений системы случайных величин .

Недостатком корреляционного момента является его зависимость от единиц измерения, т.е. значение корреляционного момента для одних и тех же случайных величин меняется в зависимости от того, в каких единицах эти величины измерены. Такая особенность затрудняет сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин.

24.3. Коэффициент корреляции системы случайных величин

Для устранения недостатка корреляционного момента вводят новую числовую характеристику системы случайных величин – коэффициент корреляции.

Определение 5. Коэффициентом корреляции случайных величин Х и У называется отношение их корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин: .

Замечание 8. Для коэффициента корреляции используются также обозначения , . Коэффициент корреляции является безразмерной величиной.