13.1.5. Другие числовые характеристики
Определение 14. Модой дискретной случайной величины Х называется её наиболее вероятное значение.
Замечание. Геометрически мода является абсциссой той точки полигона распределения, ордината которой максимальна.
Определение 15.
Начальным
моментом порядка
случайной
величины Х называется математическое
ожидание величины
:
.
Замечание 1.
В частности,
,
.
Замечание 2.
Пользуясь определением моментов,
дисперсию можно записать в виде
.
Замечание 3. Начальные моменты позволяют учесть большие, но маловероятные значения случайной величины.
Определение 16.
Центральным
моментом порядка
случайной
величины Х называется математическое
ожидание величины
:
.
Замечание 1. В
частности
.
Замечание 2.
Нетрудно показать, что 1)
,
2)
,
3)
.
Моменты более высоких порядков применяются
редко.
Замечание 3. Рассмотренные моменты называют теоретическими.
Пример 1. Случайная величина Х имеет ряд распределения:
|
2 |
4 |
8 |
10 |
|
0,4 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
П
остроить
многоугольник распределения, найти
функцию распределения вероятности и
построить ее, найти математическое
ожидание, дисперсию, СКО и моду случайной
величины Х.
Решение. 1) В прямоугольной системе координат отметим точки и соединим их последовательно ломаными отрезками. Получим многоугольник распределения (см. рис. 25.1).
2) Найдём функцию распределения вероятности.
Если
,
то
.
Е
сли
,
то
.
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Построим график функции распределения вероятности (см. рис. 25.2).
3) Найдём числовые характеристики случайной величины Х.
а) математическое
ожидание:
;
б) дисперсия:
;
в) СКО:
;
г) мода случайной
величины Х
– это такое её значение, которому
соответствует наибольшая вероятность;
наибольшая вероятность
соответствует значению
;
поэтому
.
13.2. Законы распределения дискретных случайных величин
13.2.1. Биномиальное распределение
Определение 9.
Если
вероятность наступления случайного
события в каждом испытании равна
,
то вероятность того, что случайное
событие появится в этих
испытаниях ровно
раз, выражается формулой Бернулли:
.
Закон распределения дискретной случайной
величины
,
которая может принимать
значение {0, 1, 2, …,
},
описываемый формулой Бернулли, называется
биномиальным.
Замечание. Для
биномиального закона распределения
,
,
,
мода
.
Доказательство.
1) Пусть
случайная величина Х – число наступлений
события А в
независимых испытаниях. Общее число Х
появления события А в этих испытаниях
складывается из чисел появления события
А в отдельных испытаниях. Поэтому, если
случайные величины:
– число появлений события в первом
испытании,
– во втором, и т.д.,
– в
-ом,
то общее число появлений события
.
Тогда по свойству 3 математического
ожидания имеем
.
2) Так как величины , , … , взаимно независимы (исход каждого испытания не зависит от исходов остальных испытаний), то по свойствам дисперсии
Отсюда следует,
что
Мода (см. § 10):
.