13.1.3. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение

Замечание. Математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует, так как можно найти различные случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения. По этой причине вводят другие числовые характеристики, например, дисперсию, характеризующую рассеяние возможных значений случайной величины вокруг её математического ожидания.

Пусть Х – случайная величина, – её математическое ожидание. Тогда величина будет также случайной.

Определение 11. Отклонением случайной величины Х называют величину .

Замечание. При построении закона распределения вероятностей отклонения полагают, что вероятности отклонений совпадают с соответствующими вероятностями значений Х.

Теорема 1. Математическое ожидание отклонения равно нулю: .

Доказательство. .

Определение 12. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: .

Замечание 1. Если дискретная случайная величина задана конечным рядом распределения, то её дисперсия вычисляется по формуле , вытекающей непосредственно из определений отклонения и дисперсии. Если дискретная случайная величина задана бесконечным рядом распределения, то дисперсия есть сумма ряда , при условии, что ряд сходится абсолютно.

Замечание 2. Из определения следует, что дисперсия ДСВ есть неслучайная (постоянная) величина.

Теорема 2. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадрата её математического ожидания: .

Доказательство. По свойствам математического ожидания имеем:

Замечание. В силу теоремы 2 дисперсию дискретной случайной величины, заданной конечным рядом распределения, можно вычислять по формуле .

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: .

Доказательство. .

С другой стороны постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния не имеет.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: .

Доказательство. Используя определение дисперсии и свойства математического ожидания, имеем:

.

Свойство 3 Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин: .

Доказательство. Используя терему 2 и свойства математического ожидания,

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких (конечного числа) независимых случайных величин равно сумме их дисперсий: .

Следствие 2. .

Следствие 3. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин: .

13.1.4. Среднее квадратичное отклонение

Определение 13. Средним квадратичным отклонением (СКО) случайной величины Х называется величина .

Теорема 3. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратичных отклонений этих величин: .

Доказательство. Так как и , то

.