
- •Глава 3. Случайные величины и функции распределения
- •§ 12. Основные свойства функций распределения
- •12.1. Понятие о случайной величине
- •12.2. Свойства функции распределения вероятностей
- •§ 13. Дискретные случайные величины их числовые характеристики и законы распределения
- •13.1. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •13.1.1. Полигон и функция распределения
- •13.1.2. Математическое ожидание
- •13.1.3. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение
- •13.1.4. Среднее квадратичное отклонение
- •13.1.5. Другие числовые характеристики
- •13.2. Законы распределения дискретных случайных величин
- •13.2.1. Биномиальное распределение
- •13.2.2. Распределение Пуассона
- •§ 14. Непрерывные случайные величины их числовые характеристики и законы распределения
- •14.1. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины
- •14.2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •14.3. Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин
- •14.3.1. Равномерное распределение
- •14.3.2. Показательное распределение
- •14.3.3. Нормальное распределение.
- •14.4. Другие числовые характеристики
- •§ 15. Одинаково распределённые взаимно независимые случайные величины
- •§ 16. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей
- •16.1. Неравенства Маркова и Чебышева
- •16.2. Теорема Чебышева
- •16.3. Теорема Бернулли
- •16.4. Теорема Пуассона
- •16.5. Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова
- •§ 17. Функции одного случайного аргумента
- •17.1. Распределение функции одного случайного аргумента
- •17.2. Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
- •17.3. Функция надёжности
- •17.4. Логарифмически-нормальное распределение
- •§ 18. Функции двух случайных аргументов
- •18.1. Закон распределения суммы независимых случайных величин
- •18.2. Законы распределения, являющиеся функциями нормально распределённых независимых случайных величин
- •18.2.1. Распределение
- •18.2.2. Распределение Стьюдента (псевдоним статистика в. Госсета)
- •18.2.2. Распределение Фишера-Снедекора
- •Глава 4. Многомерные случайные величины
- •§ 19. Понятие о многомерной случайной величине
- •§ 20. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •§ 21. Функция распределения вероятностей многомерной случайной величины
- •21.1. Определения и геометрический смысл
- •21.2. Свойства функции распределения двумерной случайной величины
- •§ 22. Плотность распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •22.1. Определение плотности распределения вероятностей
- •22.2. Свойства плотности распределения вероятностей
- •22.3. Дифференциальные функции составляющих двумерной случайной величины
- •22.4. Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин
- •§ 23. Числовые характеристики двумерных случайных величин
- •Свойства условного математического ожидания
- •§ 24. Зависимые и независимые случайные величины
- •24.1. Свойства функций распределения независимых случайных величин
- •24.2. Корреляционный момент системы случайных величин
- •24.3. Коэффициент корреляции системы случайных величин
- •Свойства коэффициента корреляции
- •24.4. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •24.5. Свойства математического ожидания и дисперсии для коррелированных случайных величин
- •§ 25. Двумерный нормальный закон распределения
Свойства условного математического ожидания
Свойство 1 (правило
повторного ожидания).
Если
,
где
– некоторая неслучайная функция от Х,
то
.
Следствие.
.
Доказательство
проведём для непрерывной случайной
величины. По определению имеем
.
Тогда
.
Свойство 2.
Если
,
где
– некоторая неслучайная функция от Х,
то
.
Свойство 3.
Если случайные величины Х и У независимы,
то
.
Пример 1. Дискретная двумерная случайная величина задана законом распределения:
-
У
Х
=3
=6
=1
0,15
0,30
=3
0,06
0,10
=4
0,25
0,03
=8
0,04
0,07
Найти условное математическое ожидание составляющей У при Х= =1.
Решение. 1)
Найдём
,
для чего сложим вероятности, помещённые
в строке
таблицы:
=0,15+0,30=0,45.
2) Найдём условное распределение вероятностей составляющей У при Х= =1:
,
.
3) Найдём искомое
условное математическое ожидание:
.
Ответ:
.
§ 24. Зависимые и независимые случайные величины
24.1. Свойства функций распределения независимых случайных величин
Замечание 1.
Ранее было введено определение независимых
случайных величин: две случайных величины
называются независимыми, если закон
распределения одной из них не зависит
от того, какие возможные значения приняла
другая величина. Из этого определения
следует, что условные распределения
независимых случайных величин равны
их безусловным распределениям:
,
.
Требуется получить необходимые и достаточные условия независимости случайных величин.
Теорема 1.
Для того чтобы случайные величины Х и
У были независимыми, необходимо и
достаточно, чтобы функция распределения
системы
была равна произведению функций
распределения составляющих:
.
Доказательство.
1. Необходимость.
Пусть Х и У независимые случайные
величины. Тогда события
и
независимы, следовательно, вероятность
совмещения этих событий равна произведению
их вероятностей:
или (в силу определения функции
распределения)
.
2. Достаточность. Пусть .
Отсюда , т.е. вероятность совмещения событий и равна произведению вероятностей этих событий. Тогда события и , и , следовательно, случайные величины Х и У независимы. Теорема доказана.
Следствие.
Для того чтобы непрерывные случайные
величины Х и У были независимыми,
необходимо и достаточно, чтобы
дифференциальная функция распределения
системы
была равна произведению дифференциальных
функций распределения составляющих:
.
Доказательство.
1. Необходимость.
Пусть Х и У независимые случайные
величины. Тогда (на основании теоремы
1)
.
Дифференцируя это равенство по
,
а затем по
,
имеем:
.
Или (по определению дифференциальных
функций двумерной и одномерной случайных
величин)
.
2. Достаточность.
Пусть
.
Интегрируя это равенство по
и по
,
имеем:
.
Или (в силу формулы (22.3) и свойств
дифференциальной функции распределения
одномерной случайной величины)
,
откуда (по теореме 1) следует, что случайные
величины Х и У независимы. Следствие
доказано.
Замечание 2. Так как теорема 1 и следствие из неё представляют собой необходимые и достаточные условия, то можно дать равносильные определения независимых случайных величин.
Определение 1. Две случайные величины называются независимыми, если функция распределения вероятностей системы этих величин равна произведению интегральных функций составляющих.
Определение 2. Две непрерывные случайные величины называются независимыми, если дифференциальная функция распределения вероятностей системы этих величин равна произведению дифференциальных функций составляющих.
Замечание 3. Можно доказать, что для независимых случайных величин Х и У линии регрессии Н по Х и Х по У параллельны координатным осям Ох и Оу.