12.2. Свойства функции распределения вероятностей

Свойство 1. Для любых и из неравенства следует, что .

Доказательство. Пусть А – событие, состоящее в том, что примет значение, меньшее , В – событие, состоящее в том, что примет значение, меньшее , С – событие, состоящее в том, что . Тогда имеет место равенство . Так как события В и С несовместны, то .

Так как , , , то , что и требовалось доказать.

Свойство 2. Для любых и из неравенства следует, что , т.е. функция распределения любой случайной величины является неубывающей функцией.

Доказательство. Так как вероятность есть неотрицательное число, то (в силу свойства 1) и, следовательно, .

Свойство 3. Для любого справедливо неравенство .

Доказательство. Так как (по определению) , то по свойствам вероятности .

Определение 8. Будем говорить, что функция распределения имеет при скачок, если .

Свойство 4. Функция распределения может иметь не более, чем счётное множество скачков.

Доказательство. Скачков размера, большего ½, может иметь не более одного; скачков размера от ¼ до ½ ( ) – не более трёх. Вообще, скачков размером от до может быть не более, чем . Все скачки можно пронумеровать, расположив их по величине, начиная с больших значений и повторяя равные значения столько раз, сколько скачков этой величины имеет функция . Пронумерованное множество счётно.

Определение 9. , .

Свойство 5. , .

Доказательство. Так как неравенство достоверно, то . Обозначим событие, состоящее в том, что . Так как событие эквивалентно сумме событий , то на основании расширенной аксиомы сложения . Следовательно, при

.

Принимая во внимание неравенство , получаем, что , .

Свойство 6. Функция распределения непрерывна слева.

Доказательство. Выберем какую-нибудь возрастающую последовательность , сходящуюся к . Обозначим событие . Тогда если , то и произведение всех событий есть невозможное событие. По аксиоме непрерывности должно быть

,

Что и требовалось доказать.

Следствие. . Доказывается аналогично.

Вывод. Каждая функция распределения является неубывающей, непрерывной слева и удовлетворяющей условию , функцией. Верно и обратное: каждая функция, удовлетворяющая перечисленным условиям, может рассматриваться, как функция распределения некоторой случайной величины.

§ 13. Дискретные случайные величины их числовые характеристики и законы распределения

13.1. Числовые характеристики дискретных случайных величин

13.1.1. Полигон и функция распределения

Замечание. Дискретные случайные величины могут принимать только конечное или счётное множество значений. Эти значения будем называть возможными значениями дискретной случайной величины .

Определение 1. Закон распределения дискретной случайной величины называется рядом распределения:

				…		…
				…		…

При этом , где суммирование распространяется на все (конечное или бесконечное) множество возможных значений данной случайной величины Х.

Определение 4. В прямоугольной системе координат отметим точки и соединим их последовательно ломаными отрезками. Полученная ломаная называется многоугольником (полигоном) распределения случайной величины Х.

Замечание 1. Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины задаётся равенством , в котором суммирование распространяется на все те индексы, при которых . Функция распределения любой дискретной случайной величины разрывна, возрастает скачками при тех значениях , которые являются возможными значениями . Величина скачков функции в точке равна разности . Если два возможных значения Х разделены интервалом, в котором других возможных значений Х нет, то на этом интервале функция распределения постоянна. Если возможных значений Х конечное число, например n, то функция распределения представляет собой ступенчатую кривую с интервалом постоянства. Если же возможных значений Х имеется счётное множество, которое может быть всюду плотным, так что интервалов постоянства у функции распределения дискретной случайной величины может и не быть.