22.3. Дифференциальные функции составляющих двумерной случайной величины

Пусть дана двумерная случайная величина , заданная плотностью распределения и интегральной функцией . Согласно свойству 4 функции распределения двумерной случайной величины ; . Тогда, используя формулу (22.3), получим:

, .

Дифференцируя функции и соответственно по аргументам и , получим плотности распределения вероятностей одномерных случайных величин Х и У:

,

.

22.4. Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин

Определение 3. Условным законом распределения одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины называется её закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла определённое значение (или попала в определённый интервал).

Определение 4. Условной дифференциальной функцией составляющей Х при данном значении называют отношение дифференциальной функции системы случайных величин к дифференциальной функции составляющей У: . (22.4)

Замечание 6. В отличие от безусловной дифференциальной функции составляющей Х, условная дифференциальная функция даёт распределение случайной величины Х при условии, что составляющая У приняла значение .

Определение 5. Условной дифференциальной функцией составляющей У при данном значении называют отношение дифференциальной функции системы случайных величин к дифференциальной функции составляющей Х: . (22.5)

Замечание 7. Если известна дифференциальная функция системы случайных величин, то условные дифференциальные функции составляющих могут быть найдены в силу (28.4) и (28.5) по формулам: и . Как обычные дифференциальные функции, условные дифференциальные функции обладают свойствами:

1) , . 2) , .

Замечание 8. Соотношения (28.4) и (28.5) можно переписать в виде:

и . (22.6)

Соотношения (22.6) называют теоремой умножения плотностей распределений.

§ 23. Числовые характеристики двумерных случайных величин

При изучении двумерных случайных величин рассматриваются числовые характеристики их одномерных составляющих Х и У – математические ожидания и дисперсии. Для их вычисления используются следующие формулы:

	Дискретная двумерная случайная величина	Непрерывная двумерная случайная величина
Математическое ожидание
Дисперсия

Наряду с ними рассматриваются также числовые характеристики условных распределений: условные математические ожидания и условные дисперсии составляющих, которые могут быть определены формулами:

	Дискретная двумерная случайная величина	Непрерывная двумерная случайная величина
Математическое ожидание
Дисперсия

В таблице ( ) и – соответственно условные вероятности значений и условное распределение составляющей Х при условии, что ;

( ) и – соответственно условные вероятности значений и условное распределение составляющей У при условии, что .

Определение 1. Условное математическое ожидание случайной величины У при называют функцией регрессии У по Х или регрессией У на Х.

Определение 2. Условное математическое ожидание случайной величины Х при называют функцией регрессии Х по У или регрессией Х на У.

Определение 3. Графики функций регрессии называют кривыми регрессии или линиями регрессии.