18.2. Законы распределения, являющиеся функциями нормально распределённых независимых случайных величин

18.2.1. Распределение

Пусть ( ) – нормальные независимые случайные величины, причём математическое ожидание каждой равно нулю, а .

Определение 1. Случайная величина называется распределённой по закону с степенями свободы.

Определение 2. если указанные случайные величины связаны одним линейным соотношением, то – распределённой по закону с числом степеней свободы .

Дифференциальная функция распределения имеет вид:

, где – гамма-функция, .

Распределение определяется одним параметром – числом степенней свободы . С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

С распределением тесно связаны другие распределения:

Величина	Плотность распределения при
При - случайная величина, имеющая плотность распределения, равную удвоенной плотности исходного нормального распределения
При - распределение Максвелла

18.2.2. Распределение Стьюдента (псевдоним статистика в. Госсета)

Пусть Z – нормальная случайная величина, причём , , а V - независимая от Z случайная величина, распределённая по закону с степенями свободы. Тогда величина имеет распределение, которое называют -распределением, или распределением Стьюдента с степенями свободы. Плотность распределения задаётся формулой: . Значения плотности распределения содержатся в специальных таблицах (значения -распределения).

При малом числе степеней свободы -распределение далеко от нормального. Однако, с увеличением ( ) -распределение быстро приближается к нормальному распределению.

Доказательство: [5, C.143 – 146].

При –распределение Коши.

18.2.2. Распределение Фишера-Снедекора

Если U и Vнезависимые случайные величины, распределённые по закону со степенями свободы и , то величина имеет распределение, которое называют распределением Фишера-Снедекора со степенями свободы и (иногда его обозначают ). Дифференциальная функция распределения имеет вид:

где .

Распределение определяется двумя параметрами – числами степеней свободы.

Глава 4. Многомерные случайные величины

§ 19. Понятие о многомерной случайной величине

Определение 1. Если возможные значения случайной величины определяются одним числом, то такая случайная величина называется одномерной.

Пример. Число очков, выпавших на игральной кости при одном бросании; расстояние от орудия до места падения снаряда.

Определение 2. Если возможные значения случайной величины определяются n числами, то такая случайная величина называется многомерной (в частности, n-мерной).

Замечание 1. Многомерную случайную величину называют также системой случайных величин, случайным вектором . Будем обозначать многомерные случайные величины как или – двумерную случайную величину, – трёхмерную случайную величину. Каждую из величин , ( ) называют составляющей (компонентой) многомерной случайной величины.

Примеры. 1. Станок-автомат штампует стальные плитки. Если контролируемыми размерами являются длина плитки Х и ширина У, то получаем двумерную случайную величину (Х, У). если же требуется контролировать толщину Z, то получается трёхмерная случайная величина (X,Y,Z).

2. Успеваемость выпускника вуза характеризуется системой п случайных величин – оценками по различным дисциплинам, проставленными в приложении к диплому.

3. Тип погоды в данном месте в определённое время суток характеризуется системой случайных величин: – температура, – влажность, – давление, – скорость ветра и т.п.

Замечание 2. Так как любая случайная величина , ( ) есть функция элементарного события из некоторого пространства элементарных событий , поэтому и многомерная случайная величина есть функция элементарных событий : , т.е. каждому элементарному событию ставится в соответствие п действительных чисел , , …, , которые приняли случайные величины , , …, в результате испытания. В этом случае вектор называют реализацией случайного вектора .

Определение 3. Многомерную случайную величину называют дискретной, если её составляющие дискретны.

Определение 4. Многомерную случайную величину называют непрерывной, если её составляющие непрерывны.

Замечание 3. Двумерную случайную величину удобно истолковать либо как случайную точку на плоскости (т.е. как точку со случайными координатами), либо как случайный вектор . Трёхмерную случайную величину геометрически можно истолковать как точку в трёхмерном пространстве, или как вектор .

Далее для наглядности рассматриваем двумерные случайные величины.