3.1 Геометричний опис вагових систем голосування

Розгляньмо простір (тут n – число елементів множини ). Кожній коаліції відповідає її характеристична функція тобто

: , для якої ( , якщо .Характеристичну функцію будемо ототожнювати з точкою

,…,

Отже, кожній підмножині ми поставили у відповідність точку

(Зауважмо, що підмножини множини Р перебу­вають при такому зіставленні у взаємно однозначній відповід­ності з вершинами одиничного куба в )

Нехай ( відповідно ) – множина точок, що відповідає всім виграшним( відповідно всім програшним) коаліціям системи голосування, яку розглядаємо. Нагадаймо, що гіперплощиною в називають множину точок вигляду

,

де , - деякі сталі. Ця гіперплощина ділить на два півпростори:

,

та

.

Твердження 3.1.1. Система голосування є ваговою, якщо і лише якщо існує гіперплощина в така, що множини лежать у різних півпросторах, на які ця гіперплощина ділить простір .

Доведення. Насправді це твердження є майже тавтології Припустімо, що система голосування є ваговою, причому вага елемента , дорівнює а квота —q. Нехай — найбільше з чисел , де L пробігає родину програшних стратегій..

За означенням < q. Припустімо с = ( q)/2. Легко видно, що гіперплощина, задана рівнянням с, є шуканою. Навпаки, якщо відомо, що гіперплощина с відокремлює та , то задану систему голосування можна описати як вагову, взявши за вагу елемента , і с за квоту. □

Геометричний підхід до доведення характеризаційної теореми. Теорема3.1.2. Система голосування є ваговою тоді і тільки тоді, коли вона стійка до торгівлі.

Доведення. Нагадаймо що кожна коаліція ототожнюється 0/1-вектором .

Зауважмо, що послідовністю торгівель коаліції можна перетворити у коаліції тоді і лише тоді, коли вони складаються з однакових учасників голосування,з урахуванням кратності. У геометричній формі це важливе спостереження виражає наступна Торгова Лема. Лема 3.1.3(Торгова Лема). Коаліції можуть бути утворені із коаліцій за допомогою послідовних торгівель тоді і лише тоді, коли .

У доведенні характеризаційної теореми використаймо геометричну форму теореми Гана – Банаха (у якій через conv(A) позначається опукла оболонка підмножини ).

Теорема 3.1.4(Гана –Банаха). Скінченні підмножини L,W в розділяються гіперплощиною тоді і лише тоді коли .

Тепер доведення характеризаційної теореми стає зовсім простим.

Якщо система голосування вагова , тоді множини та розділяються гіперплощиною, тобто для деякого лінійного функціоналу та деякого дійсного . Тоді для довільних коаліцій та отримаємо

( .

Тобто і за Торговою Лемою, коаліції не можна утворити послідовністю торгівель з коаліцій . Це означає, що система голосування є стійка до торгівлі.

Якщо ж припустити, що система голосування невагова, тоді множини та не розділяються жодною гіперплощиною і , за теоремою Гана-Банаха .Це означає, що для деяких векторів , система

має розв’язок Оскільки ця система має цілі коефіцієнти(0 або 1) то вона допускає раціональний розв’язок,який можна записати у вигляді:

.

Після підстановки дробів у систему отримаємо рівність

,

причому .

Розписуючи кожен коефіцієнт , як суму одиниць та застосовуючи Торгову Лему, робимо висновок: коаліції

можуть бути утворені з коаліцій

послідовністю торгівель. Це означає, що система голосування не m – стійка до торгівлі. □