Рекуррентные соотношения
1. Рекуррентное соотношение (6.127) для присоединенных функций Лежандра
умножаем на
.
Учитываем (7.22)
,
получаем
.
(7.32)
2.
В рекуррентном соотношении (6.125) заменяем
и получаем
.
Все слагаемые умножаем на
.
Учитываем (7.22)
,
и находим
.
(7.33)
3.
В (7.33) заменяем
,
комплексно
сопрягаем, используем (7.25)
,
,
получаем
.
(7.34)
Разложение по сферическим функциям
Функцию углов разлагаем по базису сферических функций
.
(7.35)
Для
нахождения коэффициентов
умножаем (7.35) на
,
интегрируем по углам, используем ортонормированность (7.27)
.
В суммах остается одно слагаемое, откуда получаем коэффициент
.
(7.36)
Для осесимметричной функции
с учетом (7.22)
из (7.36) получаем
,
где использовано
,
.
В результате
,
.
Следовательно,
осесимметричная
функция
имеет лишь нулевую проекцию момента
импульса,
и разлагается по полиномам Лежандра
,
где учтено (7.24а)
.