Пространственное квантование орбитального момента
Например, при l = 3 получаем
,
,
.
Следовательно:
1. Угол ориентации вектора момента импульса L квантуется
,
;
2. Вектор момента импульса L не может быть направлен по оси z;
3.
Число возможных проекций вектора
L
равно
.
Решение уравнения (7.16)
С учетом уравнение (7.16) получает вид
.
Уравнение совпадает с уравнением (6.116) для присоединенной функции Лежандра, тогда
.
(7.21)
С учетом
получаем сферическую функцию
.
(7.22)
Квадрат
модуля сферической функции является
плотностью вероятности обнаружения
состояния в единичном телесном угле
около направления
.
Нормировка вероятности дает
,
.
Подставляем (7.22), учитываем (1.43) и (6.123)
,
,
,
находим коэффициент
.
(7.23)
Результат получен с точностью до умножения на постоянный фазовый множитель , где α – любое число.
Сферическая функция
В результате
,
(7.24)
.
(7.24а)
Из (6.120)
следует соотношение между состояниями с противоположными проекциями
.
(7.25)
Используем (1.43) и (6.123)
,
,
получаем условие ортонормированности сферических функций
.
(7.27)
Инверсия координат
Заменяем
,
получаем
,
.
Используем
,
,
,
.
В результате
.
(7.28)
Четность состояния, описываемого сферической функцией, совпадает с четностью орбитального числа l.
Частные выражения
Используем (7.24)
.
При
;
находим
,
,
,
,
,
,
.
(7.29)
При
нет зависимости от углов –
центрально-симметричное
распределение;
При
нет зависимости от угла φ – осесимметричное
распределение.
Плотность вероятности
Вероятность обнаружения состояния в единичном телесном угле
не зависит от φ, т. е. вероятность симметрична при поворотах вокруг оси Оz. Частные случаи распределений показаны на рисунке.
Действие повышающего и понижающего операторов
Найдем действие повышающего и понижающего операторов на сферическую функцию (7.22)
.
Повышающий оператор (7.9), записанный в сферических координатах, имеет вид
.
Действуем на сферическую функцию
.
С учетом
,
,
,
находим
.
Используем рекуррентное соотношение (6.141)
,
тогда
.
Из (7.23)
получаем
.
В результате
.
(7.30)
Выполняется
.
(7.31)
Для доказательства используем (7.12) и (7.20)
,
,
,
получаем
.
На
(7.30) действуем оператором
.
Левые стороны последних равенств одинаковые, сравнение правых сторон дает
.
Заменяем
,
и получаем (7.31).