Повышающий и понижающий операторы

,

. (7.9)

Действуя на сферическую функцию , операторы изменяют на единицу число m, т. е. проекцию вектора момента импульса на ось z.

Выполняются соотношения

,

, (7.11)

. (7.12)

Доказательство (7.12)

В подставляем (7.9), сохраняя порядок следования сомножителей:

,

где использовано (7.2) и (7.8)

,

.

Уравнение для СферическОй функциИ

Функция является собственной функцией оператора квадрата момента импульса

, (7.13)

где – собственное значение оператора ; – постоянная Планка; – неизвестная безразмерная постоянная.

Выполнение (7.13) означает, что если объект находится в состоянии , то квадрат момента импульса имеет определенную величину, равную .

С учетом (7.5)

,

из (7.13) получаем уравнение для сферической функции

. (7.14)

Ищем решение и возможные значения λ.

Разделение переменных

Производные от аргументов θ и φ в (7.14) входят слагаемыми и отсутствуют произведения производных с разными аргументами, поэтому в решении аргументы разделены

.

Это решение подставляем в уравнение (7.14), умноженное слева на :

.

Упрощаем уравнение и группируем слагаемые по их аргументам

.

Левая и правая стороны имеют различные независимые аргументы, поэтому обе стороны равны постоянной . В результате получаем два независимых уравнения

, (7.15)

. (7.16)

Решение уравнения (7.15)

1. Уравнение (7.15) является уравнением Гельмгольца и имеет решение

,

что проверяется прямой подстановкой.

2. При увеличении угла φ на 2π система возвращается в исходное положение. Требуем выполнения условия периодичности

.

Получаем

,

.

Откуда следует условие квантования

,

– магнитное число,

в результате

.

3. Квадрат модуля функции состояния является плотностью вероятности обнаружения состояния. Поэтому выполняется условие нормировки

,

откуда находим

,

. (7.17)

Результат получен с точностью до умножения на постоянный фазовый множитель , где α – любое число.

На основании формулы (1.43)

,

из раздела «Преобразование Фурье», выполняется условие ортонормированности

. (7.18)

4. Для оператора проекции момента импульса (7.4)

,

и функции (7.17) выполняется

,

. (7.19)

Следовательно, и – собственные функции оператора проекции момента импульса на ось z с собственным значением . В состоянии, описываемом функцией , измерение проекции момента импульса на ось z дает

.

Значение  в уравнении

Найдем величину постоянной λ.

1. Оператором (7.11)

действуем на функцию и используем (7.19)

,

получаем

.

Следовательно, операторы переводят состояние с собственным значением m в состояния с собственными значениями , т. е. – повышающий оператор, – понижающий оператор.

2. Проекция вектора не превышает его модуль. Если

,

то нет состояний с , тогда действие повышающего оператора на состояние с максимальной проекцией дает нуль

.

3. Действуем на оператором

. (7.12)

Используем

(7.19)

и

, (7.13)

тогда

.

Находим

.

4. В результате получено

,

, (7.20)

где

– магнитное число;

– орбитальное число;

– проекция орбитального момента на ось z;

– модуль орбитального момента.