Преобразование Фурье–Бесселя

Прямое преобразование Фурье–Бесселя выражает исходную функцию через коэффициенты Фурье ее образа . Обратное преобразование выражает функцию образа через коэффициенты Фурье исходной функции .

Исходная функция и ее образ связаны преобразованием Фурье (8.91) – (8.92)

Функцию разлагаем по углу φ в ряд Фурье по базису согласно (8.93)

Коэффициенты , зависящие от радиуса, выражаем через преобразование Ганкеля (8.96)

В результате исходная функция в полярных координатах выражается через коэффициенты образа Ганкеля

. (8.100а)

Функцию образа разлагаем по углу α в ряд Фурье по базису согласно (8.94) и (8.95)

В результате Фурье-образ в полярных координатах выражается через коэффициенты исходной функции

. (8.100б)

Формулы (8.100а) и (8.100б) являются разложениями функции и ее Фурье-образа, выраженных в полярных координатах, по функциям с определенной проекцией орбитального момента.

Коэффициенты и с одинаковым индексом m связаны между собой преобразованием Ганкеля

Преобразование Ганкеля нулевого порядка

Система с осевой симметрией описывается функцией , не зависящей от угла . В разложении по углу (8.93)

остается лишь слагаемое . Тогда преобразование Фурье–Бесселя (8.100)

и преобразование Фурье в полярных координатах (8.91) и (8.92)

переходят в преобразование Ганкеля нулевого порядка

. (8.101)

В результате функция с осевой симметрией имеет образ Ганкеля с осевой симметрией.

Из (8.101) и из теоремы о парах функций для частных случаев получаем:

1) Для кольцевой функции радиусом a из (8.101) и (8.97а) находим

. (8.102)

Образом Ганкеля для кольцевой функции является функция Бесселя нулевого порядка; образом Ганкеля для функции Бесселя нулевого порядка является дельта-функция.

2) Для кулоновской функции с учетом условия нормировки (8.14а)