Преобразование Фурье в полярных координатах
1. Используем двумерное преобразование Фурье в декартовых координатах
,
.
2. Переходим к полярным координатам
,
путем замены аргументов функции
,
,
,
и аргументов спектра
,
,
,
тогда фаза преобразования
.
Получаем преобразование Фурье в полярных координатах
,
(8.91)
.
(8.92)
3.
Функцию f(r,)
разлагаем по угловой переменной φ в ряд
Фурье по базису
собственных функций проекции орбитального
момента
,
(8.93)
где
– коэффициент
Фурье для исходной функции
.
Подставляем (8.93) в (8.92)
.
4. В интеграле по углу
заменяем
,
,
где использовано
,
и представление Зоммерфельда (8.18)
.
Выражение (8.92) получает вид
,
(8.94)
где
– коэффициент
Фурье для функции образа
.
Преобразование Ганкеля
Преобразование
Ганкеля является
разложением радиальной функции по
ортонормированному
базису функций Бесселя
с непрерывным спектром
.
Преобразование
прямое
и обратное
порядка m
связывают коэффициент Фурье исходной
функции
с коэффициентом Фурье ее образа
.
С учетом (8.94) определяем
,
(8.95)
,
(8.96)
где
r
и k
– взаимно сопряженные переменные,
– безразмерная,
;
– радиальное
распределение с угловой зависимостью
для составляющей исходной функции
;
– радиальное
распределение с угловой зависимостью
для составляющей функции образа
.
Преобразования
(8.95) и (8.96) взаимно симметричные – они
переходят друг в друга при замене
и
.
Интегральная теорема
Действия прямого (8.95) и обратного (8.96) преобразований Ганкеля восстанавливают исходную функцию
,
.
(8.97)
Доказательство:
В (8.97) меняем порядок интегрирований
,
где использована ортонормированность функций Бесселя (8.48)
.
Теорема о парах функций
Если
для функции
образом является
согласно (8.95)
,
то
для функции
образом является
.
(8.97а)
Доказательство:
В обратном преобразовании (8.96)
заменяем и получаем (8.97а).
Масштабное
преобразование аргумента
Выполняется
.
(8.98)
Доказательство:
Используем
,
где
сделана замена
и проведено сравнение с (8.95)
.
Теорема Парсеваля
Теорема Парсеваля утверждает, что скалярное произведение функций равно скалярному произведению их образов.
Марк-Антуан Парсеваль (1755–1836) – французский математик. Исследовал дифференциальные уравнения и функции комплексного переменного. Доказал «теорему Парсеваля» в 1799 г. Теорема выполняется для любого унитарного (сохраняющего скалярное произведение) преобразования – Фурье, Бесселя, Ганкеля и других. Портрет Парсеваля не найден.
Для преобразования Ганкеля скалярное произведение функций равно скалярному произведению их образов
,
.
(8.99)
Доказательство:
В интеграл (8.99) подставляем (8.96)
,
,
и меняем порядок интегрирований
.
Используем ортонормированность функций Бесселя (8.48)
в виде
,
тогда с учетом фильтрующего свойства дельта-функции
,
где
сделана замена
.