Интегральное представление
Получим функцию Эйри с положительным аргументом. Для этого решим уравнение Эйри
методом Фурье-преобразования.
Используем теоремы Фурье (1.35) и (1.37)
,
.
Фурье-преобразование уравнения
дает для Фурье-образа дифференциальное уравнение первого порядка
.
Разделяем переменные
,
интегрируем и находим
.
(8.82б)
Выполняем
обратное преобразование Фурье, и заменяем
:
.
Подставляем полученный Фурье-образ
.
Находим с, вычисляя интеграл при :
.
Сравниваем с условием нормировки (8.81)
,
находим
.
Вычисление интеграла
.
В (4.9)
полагаем
,
,
,
получаем
,
где
.
Из (4.18)
находим
.
Получаем
.
Этот результат подтверждает .
С учетом функция Эйри выражается через интеграл Эйри
,
(8.83)
Получен Фурье-образ функции Эйри (8.82б) в виде
.
(8.84)
Из (8.84) при следует нормировка (8.82)
.
Предел
При
из (8.80) и (8.12а)
-
,
получаем колебательный характер функции
.
(8.85)
Первые
нули
:
.
Наибольший
максимум
;
.
Применительно
к дифракции на круглом отверстии малого
размера, область
соответствует геометрической тени,
область
описывает распределение амплитуды
волны в отверстии, начиная от его края
при
.
Предел
Интеграл Эйри (8.83)
при вычисляем методом Лапласа – главный вклад в интеграл вносит область вблизи максимума показателя экспоненты.
Записываем в виде
.
Разлагаем показатель экспоненты
при
больших x
в ряд Тейлора
около точки экстремума
,
и ограничиваемся первыми тремя членами
ряда:
.
Находим положение экстремума
,
,
где
знак
выбран из условия, что экстремум
соответствует максимуму, где вторая
производная отрицательная. Получаем
,
,
в результате
.
Из (8.83) находим
,
,
где сделана замена
.
В
полосе (0,
)
отсутствуют полюсы подынтегральной
функции. Поэтому сдвиг линии интегрирования
в комплексной плоскости к вещественной
оси не изменяет интеграла
,
где использован интеграл Пуассона (П.2.7)
.
В результате получаем
.
(8.87)
Преобразования Ганкеля и Фурье–Бесселя
Преобразование
Ганкеля
является разложением состояния, имеющего
в полярных координатах радиальную
функцию
и проекцию орбитального момента
,
по базису цилиндрических функций Бесселя
с непрерывным спектром
.
Преобразование ввел Герман Ганкель,
работа опубликована в 1875 г.
Преобразование
Фурье–Бесселя
является разложением функции в полярных
координатах
по базису цилиндрических функций и по
базису функций с определенной проекцией
орбитального момента. Преобразование
Фурье–Бесселя является обобщением
преобразования Ганкеля.
Герман Ганкель (1839–1873)
Немецкий математик разработал теорию цилиндрических функций и кватернионов.